2012年阪大理系第4問と拡張

問題．

5 次式 $f(x)=x^5+px^4+qx^3+rx^2+sx+t$ ( $p, q, r, s, t$ は実数) について考える．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 数列 $f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)$ が等差数列であることと，
\begin{align*}
f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m
\end{align*}( $l, m$ は実数) と書けることは互いに同値であることを示せ．

(2) $f(x)$ は (1) の条件を満たすものとする． $\alpha$ を実数， $k$ を 3 以上の自然数とする． $k$ 項からなる数列
$\begin{align*} f(\alpha), f(\alpha+1), f(\alpha+2), \ldots, f(\alpha+k-1) \end{align*}$
が等差数列となるような $\alpha, k$ の組をすべて求めよ．

方針．

(1) については， $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m\Rightarrow$ 等差数列の方は明らかなので，逆を上手く説明できるかがカギです．右辺に $x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ という積の形があるので， $f(x)-(lx+m)$ がこの形に因数分解できる，という方向で考えると示しやすいです．

(2) については，おそらく $f(0), f(1), \ldots, f(4)$ の部分列以外には等差数列は存在しないだろうと予想がつくので，その証明を考えていきます．

解答例．

(1) まず， $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m$ と書けるとき，
\begin{align*}
f(0) &= m\\
f(1) &= m+l\\
f(2) &= m+2l\\
f(3) &= m+3l\\
f(4) &= m+4l
\end{align*} なので，項差 $l$ の等差数列となる．

逆に， $f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)$ が等差数列のとき， $f(0)=m$ , 項差を $l$ とおくと， $f(0)=m, f(1)=m+l, \ldots, f(4)=m+4l$ . ここで， $g(x)=f(x)-(lx+m)$ とおくと，

\begin{align*}
g(0)=g(1)=\cdots=g(4)=0
\end{align*}

また， $g(x)=f(x)-(lx+m)$ は $x$ の 5 次式で $x^5$ の係数は 1 なので，

\begin{align*}
g(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)
\end{align*}となります(→因数定理)．

よって， $f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+lx+m$ と書けます．

(2) $k$ として 3 以上の自然数を考えるので，条件を満たすとき， $f(\alpha), f(\alpha+1), f(\alpha+2)$ は等差数列．つまり，
\begin{align*} 2f(\alpha+1)=f(\alpha)+f(\alpha+2).\tag{$\ast$}\end{align*}

さて，この両辺に (1) の $f(x)$ を当てはめてみると，まず左辺は
\begin{align*}
2f(\alpha+1) &= 2\{(\alpha+1)\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)+l(\alpha+1)+m\}\\
&= 2(\alpha+1)\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)+2l\alpha+2l+2m.
\end{align*}

次に，右辺は
\begin{align*}
f(\alpha)+f(\alpha+2) &= \{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)(\alpha-4)+l\alpha+m\}\\
&\quad+\{(\alpha+2)(\alpha+1)\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)+l(\alpha+2)+m\}\\
&= \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\{(\alpha-3)(\alpha-4)+(\alpha+2)(\alpha+1)\}\\
&\quad+2l\alpha+2l+2m.
\end{align*}

( $\ast$ ) より，
\begin{align*}
2f(\alpha+1)&-f(\alpha)-f(\alpha+2) \\
&= \alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\{2(\alpha+1)(\alpha-3)-(\alpha-3)(\alpha-4)-(\alpha+2)(\alpha+1)\}\\
&= -20\alpha(\alpha-1)(\alpha-2) \\
&= 0 \end{align*}

よって，条件を満たすには $\alpha=0,1,2$ が必要です．このことから， $f(3), f(4), f(5)$ が等差数列にならないこともわかるので，条件を満たす数列は $f(0), f(1), f(2), f(3), f(4)$ から連続した 3 項以上を抜き出したものに限られるので， $\alpha, k$ の組は， $(\alpha, k) = (0,3), (0,4), (0,5), (1,3), (1,4), (2,3)$ .

問題の拡張．

この問題で証明した内容は， $f(x)$ を $n$ 次多項式に拡張できます． $n$ を 3 以上の自然数として，多項式
\begin{align*}
f(x) = \sum_{k=0}^n a_kx^k
\end{align*}( $a_k$ は実数で， $a_n=1$ ) を考えます．このとき，

(1) 数列 $f(0), f(1), \ldots, f(n-1)$ が等差数列であることと \begin{align*} f(x) = x(x-1)\cdots(x-n+1)+lx+m \end{align*}( $l, m$ は実数) と書けることは互いに同値

(2) $f(x)$ が (1) の条件を満たすとき， $k$ 項からなる数列
$\begin{align*} f(\alpha), f(\alpha+1), f(\alpha+2), \ldots, f(\alpha+k-1) \end{align*}$ ( $k\geq 3$ )
が等差数列となるのは，これが $f(0), f(1), \ldots, f(n-1)$ から連続した 3 項以上を抜き出した場合しかなく，そのような $(\alpha, k)$ の組は全部で $(n-1)(n-2)/2$ 組ある．