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関数の極限

定義・定理・公式

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関数の極限

数列に極限があるように, 関数 $f(x)$ に対しても極限というものがあります.

数列 $\{a_n\}$ の極限は $n\to\infty$ の場合のみを考えましたが, 関数の場合は以下の種類があります.

$x\to\infty$ , および $x\to-\infty$ 　の極限
$x\to a$ ( $a$ は定数) の極限
右側, 左側極限 ( $x\to a\pm0$ )

それぞれについて詳しく説明していきます.

1. x →∞, x→-∞　の極限

$x\to\infty$ の極限は, 数列の極限と同様に, $x$ を限りなく大きくしたとき, 関数 $f(x)$ のとる値が $\alpha$ に近づくとき,

\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}f(x) = \alpha
\end{align*}

と書きます.

同じように考えて, $x$ を限りなく小さくしたとき $f(x)$ の値が $\alpha^\prime$ に近づくとき

\begin{align*}
\lim_{x\to -\infty}f(x)=\alpha^\prime
\end{align*}

と書きます. ( $-\infty$ は負の無限大と読みます. )

負の無限大の極限は, 関数 $f(-x)$ ( $f(x)$ に含まれる $x$ を $-x$ にしたもの)の $x\to\infty$ の極限と考えると分かりやすくなります. つまり,

\begin{align*}
\lim_{x\to-\infty}f(x) = \lim_{x\to\infty} f(-x)
\end{align*}

が成り立ちます.

例.

(1) $f(x) = \frac{1}{x^2}$

$\displaystyle\lim_{x\to\infty} \dfrac{1}{x^2} = \lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x^2} = 0$

(2) $f(x)=3^x$

$\displaystyle\lim_{x\to\infty} 3^x = \infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}3^x = 0$

2. x→a の極限

$x$ を $a$ (何らかの定数) に十分近づけるとき, $f(x)$ の値が $\alpha$ に近づくとき,

\begin{align*}
\lim_{x\to a} f(x) = \alpha
\end{align*}

と書きます.

基本的には,

\begin{align*}
\lim_{x\to a}f(x) = f(a)
\end{align*}

のように $f(x)$ に $x=a$ を代入したものと考えてかまいませんが, 以下のような例外もあります.

例外.

(1) $f(x)$ が $x=a$ で定義されていないとき

例えば, $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ は $x=3$ のとき分母がゼロになるので, 定義域が $x\neq 3$ です. つまり, $f(3)$ という値は存在しません.

さて, $f(x)$ の分子を因数分解すると $(x+3)(x-3)$ となり, 分母と約分でき,

\begin{align*}
f(x) = x+3\,(x\neq 3)
\end{align*}

と表すことができます. 極限の考え方は, あくまで $x$ を3に近づけることなので,

\begin{align*}
\lim_{x\to 3}f(x) &= \lim_{x\to 3}(x+3) \\
&= 6
\end{align*}

となります.

(右の図は $y=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ のグラフ. $x=3$ では定義されていないので◦になっていますが, $x=3$ に左右から近づくと $f(x)$ の値は6に近づきます. )

(2) 　これは(1)に似ていますが, 先ほどの $f(x)=\dfrac{x^2-9}{x-3}$ において連続でなかった $x=3$ で6でない別の値を $f(x)$ が取る場合があります.

\begin{align*}
f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}
\dfrac{x^2-9}{x-3} & (x\neq 3)\\
0 & (x = 3)
\end{array}\right.
\end{align*}

という関数が与えられたとき, $x\to 3$ の極限は, (1) と同じ6になり, $f(3)=0$ にはなりません.

右側, 左側極限(x→a±0)

$x\to a$ の極限について, $x$ を $a$ に十分近づける, と説明しましたが, 近づけ方には二通りあります.

$x>a$ の方向から近づける
[tex: x

例えば, $x\to 3$ の極限を考えるとき,

$x=10$ から $x=9, 8, \ldots, 4, 3.5, 3.1, \ldots$ と近づけていく場合が1. にあたり,

$x=0$ から $x=1, 2, 2.1, \ldots, 2.5, 2.6, \ldots$ と近づけていく場合が2. にあたります.

下のように, $x=a$ でグラフが途切れている場合(この場合 $a=0$ です), 1. の近づけ方と2. の近づけ方で $f(x)$ の極限が異なります.

そこで, 1. の場合を右側極限といい, $x\to a+0$ と表し, 同様に

2. の場合を左側極限といい, $x\to a-0$ と表します.

特に, $a=0$ のときはそれぞれ $x\to+0$ , $x\to-0$ と書きます.

右側, 左側極限が一致しているとき, その値を $x\to a$ での極限といい,

$\displaystyle \lim_{x\to a}f(x) = \lim_{x\to a+0} f(x) = \lim_{x\to a-0}f(x)$

となります.

上のグラフの例では,

\begin{align*}
\lim_{x\to +0} f(x) &= 2\\
\lim_{x\to -0} f(x) &= 0
\end{align*}

で,

\begin{align*}
\lim_{x\to 0}f(x)
\end{align*}

は存在しません.

注.) 関数の極限の厳密な定義ε-δ論法については本記事では扱っていません．気が向けば記事を書きます．