京大2016年度理系第1問(微分・極限)

問題.

(1) $n$ を 2 以上の自然数とするとき, 関数

$f_n(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta$

の $\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$ における最大値 $M_n$ を求めよ.

(2) $\displaystyle \lim_{n\to\infty} (M_n)^n$ を求めよ.

(1)は微分して増減表を書き, 最大値を求める問題. $f_n(\theta)$ の微分は積の微分/合成関数の微分を使うので, 間違えないように気を付けましょう.

最大となるときの $\theta$ の値はきれいには求まらないので注意.

(2)は極限を計算する問題. 自然対数の底 $e$ の定義を使いますが, (1)の答えから大した変形もなく解くことができるので比較的容易な問題.

解答.

(1) $f_n(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta$ を $\theta$ で微分して,

\begin{align*}
f_n^\prime(\theta) &= -\sin\theta\cdot\sin^{n-1}\theta+(1+\cos\theta)(n-1)\sin^{n-2}\theta\cos\theta\\
&= \sin^{n-2}\theta\{-\sin^2\theta+(n-1)(1+\cos\theta)\cos\theta\}\\
&= \sin^{n-2}\theta\{-(1-\cos^2\theta)+(n-1)(1+\cos\theta)\cos\theta\}\\
&= \sin^{n-2}\theta\{n\cos^2\theta+(n-1)\cos\theta-1\}\\
&= \sin^{n-2}\theta(\cos\theta+1)(n\cos\theta-1)
\end{align*}

$\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$ で $\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{n}$ となる $\theta$ を $\theta=\alpha_n$ とおくと, $\displaystyle 0\leqq\theta\leqq\frac{\pi}{2}$ で $f_n^\prime(\theta)=0$ となるのは $\theta=0, \alpha_n$ のとき.

よって, 増減表は下のようになり, 最大値は $M_n=f_n(\alpha_n)$ .

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}\hline
\theta & 0 & \cdots & \alpha_n & \cdots & \frac{\pi}{2}\\ \hline
f_n^\prime(\theta) & 0 & + & 0 & - & -1\\ \hline
f_n(\theta) & 0 & \nearrow & & \searrow & 1 \\\hline
\end{array}
\end{align*}

$\displaystyle\cos\alpha_n=\frac{1}{n}$ , $\displaystyle 0\leqq \alpha_n\leqq \frac{\pi}{2}$ より,

$\displaystyle \sin\alpha_n=\left(1-\cos^2\alpha_n\right)^{\frac{1}{2}}=\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{1}{2}}$ .

\begin{align*}
\therefore M_n &= f_n(\alpha_n)\\
&= (1+\cos\alpha_n)\sin^{n-1}\alpha_n\\
&= \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{n-1}{2}}
\end{align*}

(2)

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}(M_n)^n &= \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{\frac{n(n-1)}{2}}\\
&= \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\left\{\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{-n^2}\right\}^{-\frac{n-1}{2n}}
\end{align*}

ここで,

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$