数列の極限

数列の極限の例はこちら.

定義

数列 $\{a_n\}$ について, $n$ を限りなく大きくするとき,

(i) $a_n$ が一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくとき(*), $\{a_n\}$ は $\alpha$ に収束するといい,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha
\end{align*}

または,

$n\to\infty$ のとき $a_n\to\alpha$

と書く. また, $\alpha$ を数列 $\{a_n\}$ の極限(値)という.

(ii) $a_n$ が限りなく大きくなるとき(**), $\{a_n\}$ は $\infty$ (正の無限大)に発散するといい,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n=\infty
\end{align*}

または

$n\to\infty$ のとき $a_n\to\infty$

と書く.

(iii) 数列 $\{-a_n\}$ が $\infty$ に発散するとき, $\{a_n\}$ は $-\infty$ (負の無限大)に発散するといい,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty
\end{align*}

または

$n\to\infty$ のとき $a_n\to-\infty$

と書く.

(iv) $\{a_n\}$ が収束せず, $\infty, -\infty$ に発散もしない場合, $\{a_n\}$ は振動するという.

注意

(*). 厳密には, 「どんな正の数 $\varepsilon$ に対してもある自然数 $N$ が存在して, $n\geqq N\Rightarrow |a_n-\alpha|<\varepsilon$ が成り立つ」とき.

(**). 厳密には, 「どんな正の数 $k$ に対してもある自然数 $N$ が存在して, $n\geqq N\Rightarrow a_n>k$ が成り立つ」とき.

例.

$k>0$ のとき,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty}n^k&= \infty\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^k}&= 0
\end{align*}

数列の極限の性質

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta\,$ (収束)とするとき,

(i) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_n\pm b_n)=\alpha\pm\beta$

(ii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty} (ka_n)=k\alpha$ , ( $k$ :定数)

(iii) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}(a_nb_n)=\alpha\beta$

(iv) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{\beta}{\alpha}$ , ( $a_n\neq 0, \alpha\neq 0$ )

また, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\pm\infty$ のとき,

(v) $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{c_n}=0$

注意.

上の(v)のように, (定数)/ $\infty=0$ や, (正の定数) $/0=\infty$ , (定数) $+\infty=\infty$ などが成り立ちますが, $\infty /\infty$ や $0/0$ , $0\times\infty$ , $\infty -\infty$ のような形式の極限は一般に「不定形」と呼ばれ, その値は場合によって異なります.

( $\infty$ は数を表す記号ではないので, $\infty+\infty$ のような式を書いてはいけません. ここでは説明のために形式的にそのような表記をしています. )

また, 非常によく使う定理として, 以下のはさみうちの原理があります.

数列 $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ について,

(i) $a_n\leqq b_n$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\alpha, \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ (収束)とすると, $\alpha\leqq\beta$

(ii) $a_n\leqq b_n$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}=\infty$ (発散)とすると, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$

(iii) $a_n\leqq c_n\leqq b_n$ のとき, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$ (収束)とすると, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$