ヘルダーの不等式(Cauchy-Schwarzの不等式の一般化)

ヘルダーの不等式

ドイツの数学者, オットー・ルードウィヒ・ヘルダー(Otto Ludwig Hölder)が発見した不等式です.

$n\in\mathbb{N}$ , $a_i, b_i\quad(i=1, 2, \ldots, n)$ は非負の実数で, $p, q$ は

\begin{align*}
\dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1
\end{align*}

を満たす正の実数とすると,

不等式

\begin{align*}
\left(\sum_{i=1}^n a_i^p\right)^\frac{1}{p}\left(\sum_{i=1}^n b_i^q\right)^\frac{1}{q} \geqq \sum_{i=1}^n a_ib_i
\end{align*}

が成り立つ.

特に, $p=q=2$ の場合を考えると, Cauchy-Schwarzの不等式になっています.

コーシー・シュワルツの不等式

\begin{align*}
\left(\sum_{i=1}^na_i^2\right)\left(\sum_{i=1}^nb_i^2\right) \geqq \left(\sum_{i=1}^na_ib_i\right)^2
\end{align*}

では, 以下ではこの不等式の証明をしていきたいと思います.

証明.

まず, 関数の凸性に関する以下の補題を用意しておきます.

補題1.

関数 $f(x)$ が $x_0 < x < x_1$ の範囲において2階微分可能で, かつ常に $f^{\prime\prime}(x)<0$ ならば, $x_0 < m < n < x_1$ を満たす任意の実数 $m, n$ に対して,

\begin{align*}
f\left(\frac{ma+nb}{m+n}\right)>\frac{nf(a)+mf(b)}{m+n}
\end{align*}

が成り立つ. (つまり, $f(x)$ は上に凸である).

$a=b$ のとき等号が成立.

2階微分が負であれば, 関数は上に凸であるという(逆も成り立ちます)補題です.

証明.

$a < x < x_1$ で定義された関数

\begin{align*}
g(x) = \frac{nf(a)+mf(x)}{m+n}-f\left(\frac{na+mx}{m+n}\right)
\end{align*}

を考えます.

$x$ で微分すると,

\begin{align*}
g^\prime(x) = \frac{m}{m+n}\left\{f^\prime(x)-f^\prime\left(\frac{na+mx}{m+n}\right)\right\}
\end{align*}

ここで, $a < x$ より, $a < \frac{na+mx}{m+n} < x$ なので, $f^\prime(x)$ について平均値の定理により,

\begin{align*}
f^\prime(x)-f\prime\left(\frac{na+mx}{m+n}\right)&= \left(x-\frac{na+mx}{m+n}\right)f^{\prime\prime}(c)\\
\frac{na+mx}{m+n} < &c < x
\end{align*}

を満たす実数 $c$ が存在します.

上式の右辺について,

\begin{align*}
\left(x-\frac{na+mx}{m+n}\right)f^{\prime\prime}(c) &= \frac{n}{m+n}(x-a)f^{\prime\prime}(c)\\
&< 0
\end{align*}

であるから,

\begin{align*}
f^\prime(x) - f\left(\frac{na+mx}{m+n}\right) < 0
\end{align*}

でもあり, $g^\prime(x) < 0$ となるので, $g(x)$ は $a < x < x_1$ において単調に減少する.

さらに,

\begin{align*}
\lim_{x\to a+0} g(x) = f(a)-f(a)=0
\end{align*}

なので, $a < x < x_1$ において, $g(x)<0$ .

$a < b < x_1$ なので, $g(b)<0$ より,

\begin{align*}
f\left(\frac{ma+nb}{m+n}\right)>\frac{nf(a)+mf(b)}{m+n}
\end{align*}

ヘルダーの不等式の証明.

まず,

\begin{align*}
A &= \sum_{i=1}^n a_i^p\\
B &= \sum_{i=1}^n b_i^q
\end{align*}

とおきます.

$A=0$ のときは, $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ となり, ヘルダーの不等式は等号が成り立ちます. $B=0$ のときも同様です.

そこで, 以下では $A\neq 0, B\neq 0$ であるものとします.

関数 $f(x)=\log{x}$ を考えると, $f^\prime(x)=\frac{1}{x}$ , $f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{x^2}<0$ なので, 補題1. に当てはめると,

正の実数 $s, t$ に対して

\begin{align*}
\frac{\frac{1}{p}\log{s}+\frac{1}{q}\log{t}}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}} \leqq \log\left(\frac{\frac{s}{p}+\frac{t}{q}}{\frac{1}{p}+\frac{1}{q}}\right)
\end{align*}

仮定より, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ なので,

$\begin{align*} \frac{1}{p}\log{s}+\frac{1}{q}\log{t} &\leqq \log(\frac{s}{p}+\frac{t}{q})\\ \log{s^\frac{1}{p}t^\frac{1}{q}} &\leqq \log(\frac{s}{p}+\frac{t}{q})\\ \therefore s^\frac{1}{p}t^\frac{1}{q} &\leqq \frac{s}{p}+\frac{t}{q}\\ \end{align*}$

ここで, $s, t$ として, $s=\frac{a_i^p}{A}, t = \frac{b_i^q}{B}$ とすると,

$\begin{align*} \left(\frac{a_i^p}{A}\right)^\frac{1}{p}\left(\frac{b_i^q}{B}\right)^\frac{1}{q} \leqq \frac{a_i^p}{pA} + \frac{b_i^q}{qB} \end{align*}$

$i=1, 2, \ldots, n$ について和をとれば,

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n \left(\frac{a_i^p}{A}\right)^\frac{1}{p}\left(\frac{b_i^q}{B}\right)^\frac{1}{q} \leqq \sum_{i=1}^n \left( \frac{a_i^p}{pA} + \frac{b_i^q}{qB}\right) \end{align*}$

式を整理すると,

$\begin{align*} \frac{1}{A^{\frac{1}{p}}B^{\frac{1}{q}}}\sum _ {i=1}^n a_i b_i &\leqq \frac{1}{pA}\sum _ {i=1}^n a_i^p+\frac{1}{qB}\sum _ {i=1}^n b_i^q\\ &= \frac{1}{p}+\frac{1}{q}\\ &= 1 \end{align*}$

したがって,

\begin{align*}
\sum_{i=1}^n a_ib_i \leqq A^{\frac{1}{p}}B^{\frac{1}{q}}
\end{align*}

となり, 不等式は証明できました.

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