数学の力

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京大 2019 年度理系第 2 問

入試問題

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問題．

$f(x)=x^3+2x^2+2$ とする． $|f(n)|$ と $|f(n+1)|$ がともに素数となる整数 $n$ をすべて求めよ．

問題としては目新しくはない気がします．
京大 2016 年度の問題同様に， $|f(n)|, |f(n+1)|$ が素数にならないような $n$ を見つけて除外していくことになります．

解答例．

$n$ が偶数のときについて考える．
$n=2m$ , ( $m$ は整数) とおいて，(1) に代入すると
\begin{align*}
\,|f(2m)| &= |8m^3+8m^2+2|\\
&= 2|4m^3+4m^2+1|
\end{align*}

となり， $|f(n)|$ は常に偶数なので，素数となるのは $|4m^3+4m^2+1|=1$ のときのみ．

$4m^3+4m^2+1=1$ とすると， $4m^2(m+1)=0$ より $m=0, -1$ .
$m=0$ のとき $n=0$ で， $|f(n+1)|=5$ で素数となる．
$m=-1$ のとき $n=-2$ で， $|f(n+1)|=3$ で素数となる．

よって， $n$ が偶数で $|f(n)|$ が素数となるのは $n=-2, 0$ のみなので， $|f(n)|, |f(n+1)|$ がともに素数となるとき， $n, n+1$ のいずれかが $-2$ または $0$ .

$|f(-3)|, |f(-1)|, |f(1)|$ を実際に計算してみると，

$\begin{align*} \,|f(-3)| &= 7\\ \,|f(-1)| &= 3\\ \,|f(1)| &= 5 \end{align*}$

となり，すべて素数．

したがって， $|f(n)|, |f(n+1)|$ がともに素数となる整数 $n$ は， $n=-3,-2,-1,0$ .

解説．

今回は， $f(x)=x^3+2x^2+2$ の 3 つの項を見たときに， $x^3$ 以外の項の係数が偶数なので， $n$ が偶数のとき $|f(n)|$ が偶数となることにすぐに気づくことができます．

もしパット見で気づけなかったとしても，実際に $|f(0)|, |f(1)|, |f(2)|, \ldots$ を計算してみることで気づくことができます．