問題．
条件： をみたす
のうち，
かつ
が成立するような
の値はただ 1 つである．
今年の確率の問題は，京大でよく出題される漸化式の問題ではありませんでした．
とくにひねった部分もないので，条件をみたす目の出方を考えて解いていきましょう．
解答例．
さいころを 1 回投げたとき，2 つの事象 A, B をA : 1, 2, 3, 4 のいずれかの目が出る
B : 5, 6 のいずれかの目が出る
とします．
このとき，
A が起こる確率は .
B が起こる確率は .
条件をみたすのは， 回で起こる事象が
\begin{align*}
\overbrace{\underbrace{A, A, \ldots, A}_{i 回}, \underbrace{B, B, \ldots, B}_{j回}, \underbrace{A, A, \ldots, A}_{n-i-j回}}^{n回}
\end{align*}
() となるとき．
と仮定してあるので，
でも構わないのです．
上の状態 (A が 回，B が
回，A が
回)が起こる確率は
\begin{align*}
\left(\dfrac{2}{3}\right)^i \cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^j \cdot\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-i-j} &= \dfrac{2^{n-j}}{3^n}.
\end{align*}
あとは， をみたす
について足し合わせれば，求める確率は
\begin{align*}
\sum_{\substack{i\geqq 0, j\geqq 1\\ i+j\leqq n}} \dfrac{2^{n-j}}{3^n} &= \sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-i} \dfrac{2^{n-j}}{3^n}\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2^{n-1}}{3^n}\cdot \dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n-i}}{1-\frac{1}{2}}\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \dfrac{2^n}{3^n}\left\{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-i}\right\}\\
&= \sum_{i=0}^{n-1} \left(\dfrac{2^n}{3^n}-\dfrac{2^i}{3^n}\right)\\
&= n\cdot\dfrac{2^n}{3^n}-\dfrac{1}{3^n}\cdot \dfrac{1-2^n}{1-2}\\
&= \dfrac{(n-1)2^n+1}{3^n}.
\end{align*}
和をとる部分について
最後の和をとる部分について，上ではまず について足し合わせて，その後
について足す，という順番で計算していますが，もちろん，先に
について足して計算することもできます．
その場合， は
に依存していないので，
\begin{align*}
\sum_{\substack{i\geqq 0, j\geqq 1\\ i+j\leqq n}} \dfrac{2^{n-j}}{3^n} &= \sum_{j=1}^n\sum_{i=0}^{n-j} \dfrac{2^{n-j}}{3^n}\\
&= \sum_{j=1}^n \dfrac{2^{n-j}}{3^n}(n-j+1)
\end{align*}
となり， についての和の計算が，(
の一次式× 2 の
乗) のような形の和となり，少し面倒になります．
そこで， についての和を先に計算することで，等比数列の和の公式だけで解くことができています．
