問題. を を満たす実数とし,点 A, B の座標をそれぞれ とする.また原点を O, 点 をそれぞれ C, D, E, F とする. 長方形 COEA と長方形 DEFB の面積の和を とする. 以下の問に答えよ.(1) を で表せ.(2) の値を固定し, の値のみを変化させるとき, が最大となる…

No.15 Lattice Paths問題. の格子の左上の角から始めて, 右か下への移動のみ可能であるとき, 右下の角へ移動する道は 6 通りある.では, の格子では何通りあるか求めよ. 考え方とプログラム例(Python3).の格子において左上から右下まで, 右または下への移動の…

以前の記事で, 単位円に内接する正多角形のもつ面白い性質として, 次のようなものを紹介しました. (詳しくはこちら)定理. 単位円に内接する正 角形のある頂点から, 他の 個の頂点への距離の積は .(このときは, この定理を示すために Vandermonde行列を使った…

京大2018年度第５問は, 前回の記事で紹介したように, 次のような問題でした. 問題 : 曲線 上の点 における法線上に, 点 を となるようにとる. ただし の 座標は より大きいとする.(1) 点 の座標 を求めよ. また, を求めよ.(2) 実数 は を満たすとし, が から…

問題.曲線 上の点 における法線上に, 点 を となるようにとる. ただし の 座標は より大きいとする.(1) 点 の座標 を求めよ. また, を求めよ.(2) 実数 は を満たすとし, が から 1 まで動くときに点 と点 が描く曲線の長さをそれぞれ とする. このとき, 極限…

問題. を自然数とする. 実数 を\begin{align*} a_n = \int_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{2}} \dfrac{x^{2n-1}}{\sqrt{x^2+1}}\, dx \end{align*}で定める.以下の設問に答えよ.(1) と を求めよ.(2) すべての自然数 に対し, は正の有理数であることを示せ. さらに, を互…

問題. コインを 回投げて複素数 を次のように定める.(i) 1 回目に表が出れば とし, 裏が出れば とする.(ii) のとき, 回目に表が出れば とし, 裏が出れば とする. ただし, は の共役な複素数である.このとき, となる確率を求めよ.京大の問題では定番の, 求め…

問題. における の最大値を求めよ. ただし および が成り立つことは証明なしに用いてよい. 問題文を読むと, 微分して増減表を用いて最大値を求めるシンプルな問題に見えます. しかし, とおくと, となる を求めることができないようになっています. を計算し…

以前に相反方程式の応用問題(自作問題)の記事を書きましたが, 今回は相反方程式の自作問題 Part2 です. 相反方程式の形が繰り返し出てくる問題を作れないか, というアイデアから作った問題です.問題. 12 次方程式\begin{align*} 3x^{12}&+20x^{11}-21x^{10}-…

問題.自作問題の17番です.この問題は比較的簡単です. 問題. 整数定数 が を満たす．このとき，任意の整数 に対して\begin{align*} px^2+qxy+ry^2 = n \end{align*}を満たす，互いに素な整数 の組が存在することを示せ． が互いに素とは， の両方を割り切る自…

問題.自作問題の26番 (有名な問題かもしれませんが) です. 問題. かつ を満たす有理数 の組を の値の小さい順に並べたとき, 番目の組 (:自然数)は\begin{align*} (a, b) = \left(\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right) \en…

前回の記事で, 複素数の極形式を説明しました. 極形式\begin{align*} z = r(\cos\theta+i\sin\theta) \end{align*}() は虚数単位 ここでは, 極形式を用いて解く問題とその解法を紹介します. 極形式を使う問題の例.問 1.次の方程式の解 をすべて求めよ.\begin…

複素数の極形式表示この記事では, 複素数の表し方の極形式を紹介します. これまでは複素数 は\begin{align*} z = a + bi \end{align*}( は実数)と表していました． 極形式では，三角関数 を使って，複素数を表現します． 極形式複素数 を\begin{align*} z = …

複素数の重要な性質前回の記事-->「複素数とは何か?」今回は, 複素数平面, 複素数の絶対値, 共役な複素数などについて説明していきます. 複素数平面 (ガウス平面)座標平面上の点 が複素数 を表すと考えるとき, この座標平面を複素数平面 (複素平面), ガウス…

複素数とは何か?久しぶりの記事になります.今回は複素数について説明していきます.複素数, 虚数などの混同しやすい言葉の違いと, 基本的な計算の仕方を紹介します. 虚数単位 これまで扱ってきた実数では, 数を 2 乗すると非負 (0 以上)になりました． 実数の…

単位円に内接する正多角形今回の記事では, タイトルにも書いたように, 単位円に内接する正多角形に関する面白い定理を紹介します.定理. 単位円に内接する正 角形のある頂点から, 他の 個の頂点への距離の積は . 例.いくつか例を見てみましょう.・正三角形の…

シムソンの定理(ウォーレスの定理)の簡単な証明以前の記事でシムソンの定理の極座標による証明を書きましたが, 実は簡単な幾何による証明が可能なので, 紹介します. シムソンの定理とはシムソンの定理の内容を改めて説明します. 定理.三角形 の外接円の円周…

逆・裏・対偶と否定今回の記事では, タイトルにも書いたように, 命題の逆, 裏, 対偶と否定について説明していきます. そもそも命題とはまず, 命題とは, 真 (その文が正しい) か, 偽 (間違っている) かが定まるような文のことを言います.例えば,「9 は 3 の倍…

ラグランジュ(Lagrange) の四平方定理以前，三平方の定理の拡張である四平方の定理を紹介しました．(-->四平方定理)ラグランジュの四平方定理は，定理の名前は同じですが，全く違う内容の定理です．定理. 全ての自然数は，高々 4 個の平方数の和で表される．…

2行2列 正方行列の n 乗前の記事 『2×2 正方行列の n 乗-Vol.1』の続きとして,2行2列の行列の 乗の導出法(2つ目)を紹介します. まずは結果から前回書いた通りですが, もう一度書いておきます. について,2 次方程式について[1] 重解 をもつとき\begin{align*}…

2行2列 正方行列の n 乗高校の学習範囲から行列は今はなくなりましたが, 行列の 乗を求めさせる問題は沢山ありました.そこで, 今回は一般の 2×2 行列\begin{align} A=\left(\begin{array}{ll} a & b\\ c & d \end{array}\right) \end{align}の 乗がどのよう…

隣接3交換の漸化式の一般項漸化式から数列の一般項を求める問題でよく出てくるのが, 3項間の漸化式の形のものです. 今回は, 一般の に対して一般項 を求めてみます. 先に結果から...初項 , 第 2 項 , を満たす数列 の一般項は,2 次方程式 (特性方程式)\begin…

問題.1 辺の長さが の立方体と 1 辺の長さが の正四面体を考える. 2 つの立体の体積の和が 1 となるように を変化させるとき, 2 つの立体の表面積の和が最大となるときの 2 つの立体の体積比を求めよ.自作問題の22 番の解答, 解説をします. まず, 1 辺が の…

ヘルダーの不等式ドイツの数学者, オットー・ルードウィヒ・ヘルダー(Otto Ludwig Hölder)が発見した不等式です. , は非負の実数で, は\begin{align*} \dfrac{1}{p}+\dfrac{1}{q}=1 \end{align*}を満たす正の実数とすると,不等式\begin{align*} \left(\sum_{…

シムソンの定理定理.三角形 の外接円の円周上に, 3 点 とは異なる点 をとる.点 から 3 直線 に下ろした垂線の足をそれぞれ とすると, 3 点 は同一直線上にある. このときの 3 点 を通る直線のことを, シムソン線といいます. この定理自体は, 三角形や円に関…

べき乗和の公式公式.\begin{align*} \sum_{k=1}^n k &= 1+2+\cdots+n = \dfrac{1}{2}n(n+1)\\ \sum_{k=1}^n k^2 &= 1^2+2^2+\cdots+n^2 = \dfrac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\\ \sum_{k=1}^n k^3 &= 1^3+2^3+\cdots+n^3 = \left\{\dfrac{1}{2}n(n+1)\right\}^2\\ \sum…

No.10 Summation of primes問題.Q. 10 未満の素数の和は,\begin{align*} 2+3+5+7 = 17 \end{align*}です. では, 2,000,000 未満の素数の和はいくつになるか. 考え方とプログラム例(Python)実際に 2,000,000 未満の素数を 「エラトステネスの篩」 を用いて求…

No.12 Highly divisible triangular number問題.Q. 三角数 とは, 1 からの連続した自然数の和で表される数です. 例えば 7 番目の三角数は,\begin{align*} 1+2+3+4+5+6+7 = 28 \end{align*}で, 7 番目までの三角数の正の約数は, 以下のようになります.1: 13: …

問題. を自然数, を\begin{align*} \tan{\alpha} = \dfrac{1}{p},\quad \tan{\beta} = \dfrac{1}{q} \end{align*}を満たす実数とする. このとき\begin{align*} \tan{(\alpha+2\beta)} = 2 \end{align*}を満たす実数 の組 をすべて求めよ. 文系の問題では, 同…

問題.正の整数 に対して, その (1 と自分自身も含めた) すべての正の約数の和を とかくことにする. このとき, 次の問いに答えよ.(1) を正の整数, を 3 以上の素数とするとき, を求めよ.(2) を求めよ.(3) 2016 の正の約数 で, となるものをすべて求めよ. 正の…