京大2018年度理系第４問(確率)

問題.

コインを $n$ 回投げて複素数 $z_1, z_2, \ldots, z_n$ を次のように定める.

(i) 1 回目に表が出れば $z_1 = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とし, 裏が出れば $z_1 = 1$ とする.

(ii) $k = 2, 3, \ldots, n$ のとき, $k$ 回目に表が出れば $z_k = \dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}z_{k-1}$ とし, 裏が出れば $z_k = \overline{z_{k-1}}$ とする. ただし, $\overline{z_{k-1}}$ は $z_{k-1}$ の共役な複素数である.

このとき, $z_n=1$ となる確率を求めよ.

京大の問題では定番の, 求めるべき確率以外にも確率を表す変数をおいて, 漸化式を立てて解く問題です. このパターンの問題は過去にもいくつかありました.

- - >2014年度理系第２問

2015年度理系第６問

漸化式が立てられれば, 後は変数の消去をして, 隣接２項間の漸化式を解くだけです.

解答例.

$\alpha=\dfrac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ とおくと,

$\alpha^2 = \dfrac{-1-\sqrt{3}i}{2}=\overline{\alpha}$

$\alpha^3=1$

なので, $z_k\,(k=1, 2, \ldots, n)$ のとりうる値は $1, \alpha, \overline{\alpha}$ のいずれかになります.

では, $z_k=1, \alpha, \overline{\alpha}$ となる確率をそれぞれ $p_k, q_k, r_k$ とおきます.

$z_1$ は確率 $\dfrac{1}{2}$ で $\alpha$ または $\alpha$ なので,

$p_1 = \dfrac{1}{2}, q_1 = \dfrac{1}{2}, r_1=0$

です.

$k=2, 3, \ldots, n$ に対して,

・ $z_{k-1}=1$ のとき

$\alpha z_{k-1}=\alpha, \overline{z_{k-1}}=1$ なので, 確率 $\dfrac{1}{2}$ で $z_k=\alpha$ または $z_k = 1$ .

・ $z_{k-1}=\alpha$ のとき

$\alpha z_{k-1}=\overline{\alpha}, \overline{z_{k-1}}=\overline{\alpha}$ なので, 確率 1 で $z_k=\overline{\alpha}$ .

・ $z_{k-1}=\overline{\alpha}$ のとき

$\alpha z_{k-1}=1, \overline{z_{k-1}}=\alpha$ なので, 確率 $\dfrac{1}{2}$ で $z_k=1$ または $z_k = \alpha$ .

よって, 次のような漸化式が立てられます.

$\begin{align*} \begin{cases} p _ k &= \dfrac{1}{2}(p _ {k-1}+r _ {k-1})\\ q _ k &= \dfrac{1}{2}(p _ {k-1}+r _ {k-1})\\ r _ k &= q _ {k-1} \end{cases} \end{align*}$

この漸化式から, $k\geqq 2$ に対して, $p_k = q_k$ が成り立つので,

$k=1, 2, \ldots, n-2$ に対して

\begin{align*}
p_{k+2} &= \dfrac{1}{2}(p_{k+1}+q_{k})\\
&= \dfrac{1}{2}(p_{k+1}+p_k)
\end{align*}

後は漸化式を解くだけです.

変形すると,

\begin{align*}
p_{k+2}-p_{k+1}=-\dfrac{1}{2}(p_{k+1}-p_k)
\end{align*}

数列 $\{p_{k+1}-p_k\}$ は初項が $p_2-p_1 = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+0\right)-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}$ , 公比が $-\dfrac{1}{2}$ の等比数列なので,

$\begin{align*} p_{k+1} - p_k &= -\dfrac{1}{4}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k-1}\\ &= -\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k+1} \end{align*}$

よって,

\begin{align*}
p_n &= p_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (p_{k+1}-p_k)\\
&= \dfrac{1}{2} + \sum_{k=1}^{n-1} -\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{k+1}\\
&= \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1-(-\frac{1}{2})^{n-1}}{1+\frac{1}{2}}\\
&= \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{6}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right\}\\
&= \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6}\left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}\\
&= \dfrac{1}{3}\left\{1-\left(-\dfrac{1}{2}\right)^n\right\}.
\end{align*}

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京大2018年度理系第４問(確率)

問題.

解答例.