複素数の重要な性質

前回の記事-->「複素数とは何か?」

今回は, 複素数平面, 複素数の絶対値, 共役な複素数などについて説明していきます.

複素数平面 (ガウス平面)

座標平面上の点 $(a, b)$ が複素数 $z=a+bi$ を表すと考えるとき, この座標平面を複素数平面 (複素平面), ガウス平面といいます.

横軸を実軸, 縦軸を虚軸といい, 実軸上の点は実数を, 虚軸上の点は純虚数を表します.

共役な複素数

複素数 $z=a+bi$ に対して, 虚部の符号をかえてできる複素数を $z$ の共役な複素数といい, $\overline{z}$ で表します.

\begin{align*}
z &= a + bi\\
\overline{z} &= a-bi
\end{align*}

共役な複素数の性質

$\overline{\overline{z}} = z$
$\overline{z_1\pm z_2} = \overline{z_1}\pm\overline{z_2}$
$\overline{z_1z_2} = \overline{z_1}\overline{z_2}$
$\overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$
\begin{align*}\Re z &= \frac{z+\overline{z}}{2}\\ \Im z &= \frac{z-\overline{z}}{2i}\end{align*}

複素数の絶対値

絶対値は, 複素数平面上での原点 $0$ からの距離を表します.
(実数における絶対値も, 実直線での原点からの距離でしたね).

特に, $z=a+bi$ のとき, 複素数平面上で三平方の定理を使うと,
$|z| = \sqrt{a^2+b^2}$
となります.

絶対値に関連する重要な公式

1. $|z| = |\overline{z}|$
2. $|z_1z_2| = |z_1||z_2|$
3. $\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right| = \dfrac{|z_1|}{|z_2|}$
4. $|z|^2 = z\overline{z}$
特に,
$|z|=1 \Leftrightarrow \overline{z}=\frac{1}{z}$

次回の記事では複素数の極形式の表現などを説明します

数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

複素数の重要な性質