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複素数とは何か?

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複素数とは何か?

久しぶりの記事になります.

今回は複素数について説明していきます.

複素数, 虚数などの混同しやすい言葉の違いと, 基本的な計算の仕方を紹介します.

虚数単位 $i$

これまで扱ってきた実数では, 数を 2 乗すると非負 (0 以上)になりました．
実数の性質

$x$ が実数なら, \begin{align*}x^2\geqq0\end{align*}

2 乗したときに負の数になるような新しい数を考えたのが複素数の始まりです.

そこで, 基準となる次のような数を導入します.

虚数単位 $i$

2 乗して -1 になる数を虚数単位 $i$ とする.

つまり， $i^2=-1$

あるいは, $i=\sqrt{-1}$ とも表記します.

虚数単位 $i$ を使って, 2 乗したときに負になる数を次のように表すことができます.

$a>0$ のとき, 2 乗して $-a$ になる数は

$\sqrt{-a} = \sqrt{a}i$

複素数と虚数

複素数という言葉のほかに, 虚数という言葉もあります. ここではそれらの言葉の意味の違いを説明していきます.

虚数

まず, 前の節で紹介したような $Ai$ ( $A$ はゼロでない実数) の形をしたものを純虚数といいます.

例. ) $i, -5i, \sqrt{3}i, \ldots$

虚数

虚数は, 実数と純虚数を足したもので, $A+Bi$ ( $A, B$ は実数, $B\neq0$ ) という形をしています.

例. ) $1+2i, 3-i, -2+\sqrt{3}i, 5i, \ldots$

例からもわかるように, 実数の部分 $A$ はゼロであってもかまいません.

つまり, 純虚数は虚数に含まれることになります.

複素数

複素数とは, $z=A+Bi$ ( $A, B$ は実数) という形で表される数のことです.

複素数では, $A$ を実部, $B$ を虚部と呼び,

\begin{align*}
\Re z &= A\\
\Im z &= B
\end{align*}

と表します.

虚数との違いは, $B=0$ であってもよいことです.

例. ) $1+2i, -\sqrt{3}i, 5, \ldots$

$1+2i$ の実部は 1, 虚部は 2

以上のことをまとめると,

複素数は $A+Bi$ ( $A, B$ は実数) と書ける数すべてを指す言葉で,

特に $B=0$ なら実数,

$B\neq0$ なら虚数,

$B\neq 0$ かつ $A=0$ なら純虚数

となります.

複素数の計算

複素数に関する計算の仕方を紹介します.

例として次の (1)～(6) を考えます.

Q. (1) $(-3+2i) + (2-i)$

(2) $(-3+2i) - (2-i)$

(3) $(-3+2i)(2-i)$

(4) $\dfrac{-3+2i}{2-i}$

(5) $\sqrt{-3}\cdot\sqrt{-4}$

(6) $\sqrt{(-3)\cdot(-4)}$

まず(1), (2) ですが, 足し算, 引き算は実部と虚部のそれぞれについて計算すればいいです.

(1) \begin{align*}
(-3+2i)+(2-i) &= (-3+2) + (2-1)i\\
&= -1+i
\end{align*}

(2) \begin{align*}
(-3+2i)-(2-i) &= (-3-2) + \{2-(-1)\}i\\
&= -5+3i
\end{align*}

(3) のような掛け算は, まず式を展開してから, $i^2=-1$ を使って整理していきます.

\begin{align*}
(-3+2i)(2-i) &= (-3)\cdot 2 + (-3)\cdot (-i) + 2i\cdot 2 + 2i\cdot (-i)\\
&= -6+3i+4i-2i^2\\
&= -6+7i-2\cdot(-1)\\
&= -4+7i
\end{align*}

(4) 割り算では, 分母を実数にしたいので, 次の性質をつかいます.

$(A+Bi)(A-Bi) = A^2-B^2i^2=A^2+B^2$

$A, B$ は実数なので, $A^2+B^2$ は実数ですね.

分数は分母と分子に同じものを掛けてもいいので,

\begin{align*}
\dfrac{-3+2i}{2-i} &= \dfrac{(-3+2i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}\\
&= \dfrac{-6-3i+4i+2i^2}{2^2+1^2}\\
&= \dfrac{-8+i}{5}
\end{align*}

となります.

(5) これは, $\sqrt{-3}, \sqrt{-4}$ のそれぞれが $\sqrt{3}i, 2i$ と書けるので,

\begin{align*}
\sqrt{-3}\cdot\sqrt{-4} &= \sqrt{3}i\cdot2i\\
&= 2\sqrt{3}i^2\\
&= -2\sqrt{3}
\end{align*}

となります.

(6) 先ほどの(5) と似ていますが,

$\sqrt{(-3)\cdot(-4)} = \sqrt{-3}\cdot\sqrt{-4}$ とすると間違いになります.

ルートの中の掛け算は先に計算してしまいましょう.

\begin{align*}
\sqrt{(-3)\cdot(-4)} &= \sqrt{12}\\
&= 2\sqrt{3}
\end{align*}

続きとして次回の記事で, 複素数に関連した内容をさらに紹介していきます.