シムソンの定理の簡単な証明

シムソンの定理(ウォーレスの定理)の簡単な証明

以前の記事でシムソンの定理の極座標による証明を書きましたが, 実は簡単な幾何による証明が可能なので, 紹介します.

シムソンの定理とは

シムソンの定理の内容を改めて説明します.

定理.

三角形 $\mathrm{ABC}$ の外接円の円周上に，3 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ とは異なる点 $\mathrm{O}$ をとる．

点 $\mathrm{O}$ から 3 直線 $\mathrm{AB}, \mathrm{BC}, \mathrm{CA}$ に下ろした垂線の足をそれぞれ $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ とすると，3 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ は同一直線上にある．

このとき直線 $PQR$ をシムソン線といいます．

前回の記事では直線 $\mathrm{PQ}$ と直線 $\mathrm{QR}$ の方程式を求めて一致することを示しました．

今回は $\angle{\mathrm{PQR}} = 180^\circ$ となることを示していきます．

簡単な幾何による証明

$\angle{\mathrm{BQP}}=\theta$ とおきます．

$\angle{\mathrm{OQB}}=\angle{\mathrm{OPB}}=90^\circ$ なので，

4 点 $\mathrm{O}, \mathrm{Q}, \mathrm{B}, \mathrm{P}$ は線分 $\mathrm{OB}$ を直径とする円周上にある．

よって $\angle{\mathrm{BOP}}=\angle{\mathrm{BQP}}=\theta$ なので， $\triangle{\mathrm{OBP}}$ の内角について,

$\begin{align*} \angle{\mathrm{OBP}} &= 180 ^ \circ - 90 ^ \circ-\theta\\ &= 90 ^ \circ-\theta. \end{align*}$

一方，4 点 $\mathrm{O}, \mathrm{B}, \mathrm{A}, \mathrm{C}$ は同一円周上にあるから，

$\begin{align*} \angle{\mathrm{OCA}} &= \angle{\mathrm{OBP}}\\ &= 90 ^ \circ-\theta. \end{align*}$

また， $\angle{\mathrm{OQC}}=\angle{\mathrm{ORC}}=90^\circ$ より，4 点 $\mathrm{O}, \mathrm{Q}, \mathrm{R}, \mathrm{C}$ も同一円周上にあって，

$\begin{align*} \angle{\mathrm{OQR}} &= 180^\circ - \angle{\mathrm{OCR}}\\ &= 180^\circ - (90^\circ - \theta)\\ &= 90^\circ+\theta. \end{align*}$

よって， $\angle{\mathrm{PQR}}$ は，

$\begin{align*} \angle{\mathrm{PQR}} &= \angle{\mathrm{PQO}} + \angle{\mathrm{OQR}}\\ &= (90^\circ - \theta) + (90^\circ+\theta)\\ &= 180^\circ. \end{align*}$

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