問題.次の問に答えよ.(1) を正の整数, とする. は で割り切れるが で割り切れないことを示せ.(2) を正の偶数とする. が で割り切れるならば または であることを示せ. (1) は典型的な数学的帰納法の問題です. ちなみに, この問題をより一般化して,「正の整数…

問題. を正の実数とする. 座標平面において曲線 と 軸とで囲まれた図形の面積を とし, 曲線 , 曲線 および 軸で囲まれた図形の面積を とする. このとき， となるような の値を求めよ. とりあえず の値は積分してすぐに求まります. については， と のグラフ…

問題.極方程式で表される曲線の長さを求めよ．シンプルな問題文です．極方程式で表される曲線の長さを求める問題は珍しいので，少し戸惑うかもしれませんが， 直交座標での媒介変数表示された式に直せば，後は公式通りです．公式. で表される曲線の長さ は，…

No.8 Largest product in a series問題.Q. 下の1000桁の数の中で, 隣り合った4桁の積として最大のものは です.73167176531330624919225119674426574742355349194934 96983520312774506326239578318016984801869478851843 8586156078911294949545950173795833…

問題.自作問題集の18番, 不等式の証明の問題です. 問題.関数 はすべての整数 に対し を満たし, すべての実数 に対して を満たす. 以下の問に答えよ.(1) を示せ.(2) を示せ. 但しはの逆関数である. 整数 に対して となることを利用して, の値の範囲を考えてい…

三角形の存在条件三角形の存在条件とは三角形の存在条件とは, 3つの数 が与えられたときに, 3辺の長さがそれぞれ であるような三角形が存在するための条件です. 定理. 3辺の長さがそれぞれ である三角形が存在するための必要十分条件は,が成り立つことである…

ユークリッドの互除法最大公約数の計算ユークリッドの互除法とは, 2つの整数に対して, その最大公約数を計算するときに使う方法です. 最大公約数は, 通常は素因数分解を用いて次のように求めます. 例として, 2016 と 210 の最大公約数を考えます.\begin{alig…

問題.自作問題の27番, 中間値の定理を利用する問題です. 問題. 周期 の連続な周期関数 について, 以下の条件を満たす実数 が存在することを示せ.\begin{align*} (\ast)\left\{\begin{array}{ll} 0\leqq p f(p) = f(p+\frac{\omega}{2}) \end{array} \right. …

四平方の定理三平方の定理というと, 直角三角形において,(斜辺の2乗) = (他の2辺の2乗の和)が成り立つという有名な定理です.ここでは, 三平方の定理(平面上の定理)を3次元に拡張した, 四平方の定理を紹介します. 定理. 3つの面が直角三角形で, 1つの頂点に直…

この定理はおそらく平面図形に関する定理の中で, おそらくもっとも有名な定理です. 定理. (三平方, ピタゴラス) 直角三角形において, 直角を挟む2辺の長さを ,残りの辺(斜辺)の長さを とするとき, 次の式が成り立つ.\begin{align*} a^2+b^2=c^2 \end{align*}…

No.7 10001st prime問題.Q. はじめの6つの素数は 2, 3, 5, 7, 11, 13 であり, 6番目の素数は 13 です.では, 10001番目の素数は何か. 考え方とプログラム例(Python)1. 小さい数から順に素数かどうかを確かめていく素数の定義通りに, 自分よりも小さい数で割り…

No.6 Sum square difference問題.Q. 1から10までの平方の和は,1から10までの和の平方は,で, その差は になります.では, 1から100までの平方の和と和の平方の差はいくつになるか. 考え方とプログラム例(python)この問題は単純に計算すれば良さそうです.LIST …

No.5 Smallest multiple問題.Q. 2520 は, 1 から 10 のすべてで割り切れる最小の数です.では, 1 から 20 のすべてで割り切れる最小の数はいくつか. 要は 1 から 20 までの数の最小公倍数を求める問題です. 考え方とプログラム例(c++)1. 1から順に最小公倍数…

ペル方程式とはペル方程式は,但し, は正の整数で, は自然数の定数(平方数でない)です. この方程式の最小解 が分かると, すべての解を求めることができます. このことについては, 以前の記事「ペル方程式とその解法」に詳しい事は書いてあります. 以前の記事…

No.4 Largest palindrome product問題.Q. 回文数(palindrome number) とは, 左右どちらから読んでも同じになる数です. (例えば, 12021 や, 148841)2桁の数2つの積として表される最大の回文数は, です.3桁の数2つの積として表される最大の回文数はいくらか. …

エラトステネスの篩とは古代ギリシャの数学者, エラトステネスが考案したとされる, 素数の判定法です.決められた自然数 以下のすべての素数を求めることができます. アルゴリズム以下の素数を求めたいとします． 素数の候補の集合の初期状態として とします…

No.3 Largest prime factor問題.Q. 13195 の素因数は, 5, 7, 13, 29 です. ().では, 600851475143 の素因数で最大のものはなにか? 考え方とプログラム例(Python3)1. 小さい数で順に割っていく与えられた 600851475143 を, で順に割っていき, 最後に割った商…

No.2 Even Fibonacci numbers問題.Q. 直前の2項の和を次の項として生成されるフィボナッチ数列において, 1, 2, から始めたときの最初の10項は次のようになる.\begin{align*} 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, \ldots \end{align*}この数列の4,000,000未満…

No.1 Multiples of 3 and 5問題.Q. 10 未満で, 3 または 5 の倍数は 3, 5, 6, 9 の 4 つで, それらの総和は 23 となる.では, 1,000 未満で 3 または 5 の倍数であるものの総和はいくらか. 考え方とプログラム例(c++/Python3)1. シンプルにループで和を求める…

Project Euler とはProjectEuler とは, プログラミングの問題集です.各問題は数字で答える形になっています. さらに, 各問題をそのままコーディングするのでなく, 問題を数学的に解析して, 上手なアルゴリズムを考える必要がある問題がほとんどです. アカウ…

双子素数とクレメントの定理今年は2017年です. 2017は素数(1と2017以外の数で割り切れない)なので, 素数に関する話をします. 素数の存在について素数とは, 1とその数自身でのみ割り切れる自然数で, 1は含みません.小さい方から並べると下のようになります. \…

フラーレンとサッカーボール 炭素原子だけで構成されるものとして, 鉛筆に使われる黒鉛, 宝石として有名なダイヤモンド, そして, 1985年に発見されたフラーレンがあります. フラーレンは, 上図のように, 5角形と6角形の面からなる立体の形をしています. 上図…

定理. において,辺 の中点を とするとき,\begin{align*} \mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2) \end{align*} 定理の名前になっている中線とは, 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分(上の図では)のことです. この定理を使うと, 中線…

初等関数の導関数以前書いた記事, 「初等関数の導関数」では 定数関数 次単項式 , ( が0以外の実数) 対数関数 指数関数 三角関数 の導関数を紹介しました. この記事では, それらを導出します. 導出.1. 定数関数定義により, 2. 単項式, ( は自然数)定義より 3…

フェルマー数に関する定理フェルマーの最終定理やフェルマーの小定理にも名前を残している数学者, フェルマーの名前がついた数, フェルマー数というものがあります. ここでは, フェルマー数の定理で重要なものの一つを紹介します. フェルマー数とはフェルマ…

自然対数の底 e が無理数である証明以前の記事で, 円周率が無理数, つまり (整数) / (整数) と分数の形では表せない証明として, Nivenの方法を紹介しました. 今回は, 自然対数の底 が無理数である証明を紹介します. 自然対数の底とは, 次の式で定義される数…

微分の公式の導出以前の記事で, 「微分の公式」を紹介したので, ここではその導出をします.1. 積の微分 のとき2. 逆数の微分 のとき 3. 商(分数型)の微分 のとき 4. 合成関数の微分 のとき 5. 逆関数の微分 のとき すべて導関数の定義から求まります. 1．積…

大学入試などで関数を微分する(導関数を求める)問題では, 分数型や合成関数型など複雑な関数が出てくるので, 「初等関数の導関数」に加えて, 微分の公式を覚えておく必要があります. 覚えておいた方がいい主な公式は以下の4つです. 特に1～4は頻繁に使う重要…

今回は, 高校までで扱う基本的な関数の導関数を紹介します.導関数の定義についてはこちら. 1. 定数関数 2. 次の単項式(は自然数) 3. 2. はの部分が0でない実数のときも成り立ちます.例えば, の導関数は 実数の場合は高校で習う範囲では証明ができません． 4.…

導関数関数 がある区間内の各点で微分可能なとき, その微分係数 はの関数になります.これを などと書き, の導関数といいます. 微分係数の定義から, 導関数は\begin{align*} f^\prime(x) = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{align*}となります. また…