定理.
において,辺 の中点を とするとき,
\begin{align*}
\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2)
\end{align*}
定理の名前になっている中線とは, 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分(上の図では)のことです.
この定理を使うと, 中線の長さを求められます.
例.
のとき, の長さを求める.中線定理より
中線定理の証明.
中線定理は, 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いて, 以下のように簡単に証明できます.
まず から辺 に下ろした垂線の足を とします. ここでは, の順に並んでいる場合を考えます.
3つの直角三角形 について三平方の定理より,
また, , であることも使って,