数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

中線定理 (parallelogram law)


スポンサードリンク

定理.


 \triangle \mathrm{ABC} において,辺  \mathrm{BC} の中点を  \mathrm{M} とするとき,

\begin{align*}
\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2+\mathrm{BM}^2)
\end{align*}

 

定理の名前になっている中線とは, 三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分(上の図では \mathrm{AM})のことです.

 

この定理を使うと, 中線の長さを求められます.

例.

 \mathrm{AB}=15, \mathrm{BC}=14, \mathrm{CA}=13 のとき,  \mathrm{AM}の長さを求める.

中線定理より

\begin{align*}
15^2 + 13^2 &=  2(7^2+\mathrm{AM}^2)\\
225+169&=  2(49+\mathrm{AM}^2)\\
\mathrm{AM}^2 &=  148\\
\therefore \mathrm{AM} &=  2\sqrt{37}
\end{align*}

 

中線定理の証明.


中線定理は, 三平方の定理(ピタゴラスの定理)を用いて, 以下のように簡単に証明できます.


まず  \mathrm{A} から辺  \mathrm{BC} に下ろした垂線の足を  \mathrm{H} とします. ここでは,  \mathrm{B}, \mathrm{M}, \mathrm{H}, \mathrm{C} の順に並んでいる場合を考えます.

3つの直角三角形  \triangle{\mathrm{ABH}}, \triangle{\mathrm{ACH}}, \triangle{\mathrm{AMH}} について三平方の定理より,

 

\begin{align}
\mathrm{AB}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{BH}^2
\end{align}

\begin{align}
\mathrm{AC}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{CH}^2
\end{align}

\begin{align}
\mathrm{AM}^2 = \mathrm{AH}^2 + \mathrm{MH}^2
\end{align}

 

また,  \mathrm{BH} = \mathrm{BM} + \mathrm{MH},  \mathrm{CH} = \mathrm{CM} - \mathrm{HM} = \mathrm{BM} - \mathrm{MH} であることも使って,

\begin{align*}
\mathrm{AB}^2+\mathrm{AC}^2 &=  (\mathrm{AH}^2+\mathrm{BH}^2) + (\mathrm{AH}^2+\mathrm{CH}^2)\\
&=  2\mathrm{AH}^2+\mathrm{BH}^2+\mathrm{CH}^2\\
&=  2\mathrm{AH}^2+(\mathrm{BM}+\mathrm{MH})^2+(\mathrm{BM}-\mathrm{MH})^2\\
&=  2\mathrm{AH}^2+2\mathrm{BM}^2+2\mathrm{MH}^2\\
&=  2\{\mathrm{BM}^2+(\mathrm{AH}^2+\mathrm{MH}^2)\}\\
&=  2(\mathrm{BM}^2+\mathrm{AM}^2)
\end{align*}