微分の公式の導出

以前の記事で, 「微分の公式」を紹介したので, ここではその導出をします.

1. 積の微分 $h(x)=f(x)g(x)$ のとき $h^\prime(x)=f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)$

2. 逆数の微分 $h(x)=1/f(x)$ のとき $h^\prime(x) = -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}$

3. 商(分数型)の微分 $h(x)=g(x)/f(x)$ のとき $h^\prime(x) = \dfrac{f(x)g^\prime(x)-f^\prime(x)g(x)}{\{f(x)\}^2}$

4. 合成関数の微分 $h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))$ のとき $h^\prime(x) = g\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)$

5. 逆関数の微分 $y = h(x)=f^{-1}(x)$ のとき $h^\prime(x) = \dfrac{1}{f^\prime(y)}$

すべて導関数の定義から求まります.

1．積の微分

まず $h(x) = f(x)g(x)$ を導関数の定義式に代入すると,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{h(x+k)-h(x)}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x+k)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}
\end{align*}となります. 極限をとるための文字は混乱を避けるため $h$ ではなく $k$ を使うことにします.

ここで, 「同じものを引いて足しても変わらない」ということを用いて, 右辺の分子から $f(x+k)g(x)$ を引いて, 同じものを足して変形していきます.

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x+k)g(x+k) - f(x+k)g(x) + f(x+k)g(x) - f(x)g(x)}{k}\\
&= \lim_{k\to 0}\left\{\dfrac{f(x+k)g(x+k)-f(x+k)g(x)}{k} + \dfrac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}\right\}\\
&= \lim_{k\to 0}\left\{f(x+k)\cdot\dfrac{g(x+k)-g(x)}{k} + \dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}\cdot g(x)\right\}
\end{align*}

さて, $k\to 0$ のとき,

\begin{align*}
f(x+k) &\to f(x)\\
\dfrac{g(x+k)-g(x)}{k} &\to g^\prime(x)\\
\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} &\to f^\prime(x)
\end{align*}

なので, (2つ目, 3つ目はそれぞれ導関数の定義式そのものになっています)

\begin{align*}
h^\prime(x) = f(x)g^\prime(x) + f^\prime(x)g(x)
\end{align*}

ここで使った, 「同じものを足して引く」という変形は, 高校数学ではあまり使いませんが, 大学の微積分ではよく使うテクニックです.

2. 逆数の微分

$h(x) = \dfrac{1}{f(x)}$ を導関数の定義式に代入して通分すると,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0}\dfrac{\frac{1}{f(x+k)} - \frac{1}{f(x)}}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{1}{f(x)f(x+k)}\cdot\dfrac{f(x)-f(x+k)}{k}
\end{align*}となります. ここで,

\begin{align*}
\lim_{k\to 0} f(x+k) &= f(x)\\
\lim_{k\to 0} \dfrac{f(x)-f(x+k)}{k} &= \lim_{k\to 0} -\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}\\
&= -f^\prime(x)
\end{align*}なので(ここでも2つ目の式は導関数の定義式を使って), $h(x)$ の導関数は
\begin{align*}
h^\prime(x) &= \dfrac{1}{f(x)f(x)}\cdot \{-f^\prime(x)\}\\
&= -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}.
\end{align*}

3．商(分数型)の微分

$h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}=\dfrac{1}{f(x)}\cdot g(x)$ と2つの関数の積と見做すことができるので, 1. の積の微分公式を当てはめると,
$\begin{align*} h^\prime(x) &= \left\{\dfrac{1}{f(x)}\cdot g(x)\right\}^\prime\\ &= \left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}^\prime g(x) + \dfrac{1}{f(x)}\cdot g^\prime(x). \end{align*}$

$\dfrac{1}{f(x)}$ の微分 $\left\{\dfrac{1}{f(x)}\right\}^\prime = -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}$ は 2. でわかっているので, 代入すると

$\begin{align*} h^\prime(x) &= -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}\cdot g(x) + \dfrac{g\prime(x)}{f(x)}\\ &= \dfrac{-f^\prime(x)g(x) + g^\prime(x)f(x)}{\{f(x)\}^2}\\ &= \dfrac{f(x)g^\prime(x) - f^\prime(x)g(x)}{\{f(x)\}^2} \end{align*}$

4. 合成関数の微分

ここでは厳密な証明ではなく, 考え方を説明します.

とりあえず $h(x) = g(f(x))$ を導関数の定義式に代入します.

$\begin{align*} h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0}\dfrac{g(f(x+k)) - g(f(x))}{k}. \end{align*}$

ここで, $y = f(x), \Delta y = f(x+k) - f(x)$ とおくと, $f(x+k) = y+\Delta y$ なので,

$\begin{align*} h^\prime(x) = \lim_{k\to 0} \dfrac{g(y+\Delta y) - g(y)}{k} \end{align*}$

導関数の定義式のような形をつくりたいので,

$\begin{align*} h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y}\cdot\dfrac{\Delta y}{k}\\ &= \lim_{k\to 0} \dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y}\cdot\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} \end{align*}$

とすると,

$k\to 0$ のとき $\Delta y = f(x+k)-f(x)\to 0$ なので

\begin{align*}
\dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y} &\to g^\prime(y)\\
\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} &\to f^\prime(x)
\end{align*}

より,

\begin{align*}
h^\prime(x) = g^\prime(y)f^\prime(x) = g^\prime(f(x))f^\prime(x)
\end{align*}

逆関数の微分

$h(x) = f^{-1}(x)$ の導関数は

$\begin{align*} h^\prime(x) =\lim_{k\to 0} \dfrac{f^{-1}(x+k) - f^{-1}(x)}{k} \end{align*}$

ここで, $y=f^{-1}(x), \Delta y = f^{-1}(x+k)-f^{-1}(x)$ とおくと, $f^{-1}(x+k) = f^{-1}(x)+\Delta y = y+\Delta y$ より, $x+k = f(y+\Delta y)$ .

よって, 分母の $k$ は $f(y+\Delta y) - f(y)$ と書ける.

これを用いて,

\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{\Delta y\to 0} \dfrac{\Delta y}{f(y+\Delta y)-f(y)}\\
&= \dfrac{1}{f^\prime(y)}\\
&= \dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}.
\end{align*}

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