フェルマー数に関する定理
フェルマーの最終定理やフェルマーの小定理にも名前を残している数学者, フェルマーの名前がついた数, フェルマー数というものがあります. ここでは, フェルマー数の定理で重要なものの一つを紹介します.
フェルマー数とは
フェルマー数とは, 自然数 に対して,\begin{align*}
F_n = 2^{2^n}+1
\end{align*}
と表される数です.
具体的に計算すると,
\begin{align*}
F_1 &= 2^{2^1}+1 = 5\\
F_2 &= 2^{2^2}+1 = 17\\
F_3 &= 2^{2^3}+1 = 257\\
&\vdots&
\end{align*}
と 小さいに対しても はどんどん大きな数になっていきます.
フェルマーはこの がすべて素数であると予想したのですが, 実際には
という反例をオイラーが見つけました.
一方, 後に「:素数として, 正角形がコンパスと定規のみで作図可能であるのは, がフェルマー数のときのみ」ということがガウスにより証明されました.
定理
ここでは, フェルマー数に関する定理を紹介します.(合同式に関してはこちら. )
ここでは, 自身が素数 になっている場合も含めて考えてかまいません.
定理の証明の前に, まず補題を証明します.
補題1.
(証明)
・(⇒)自然数 が を満たすとき, 位数 の定義により,
\begin{align*}
k \geqq e
\end{align*}
を で割った商を , 余りを とおくと, (は整数で )
\begin{align*}
k = se + t
\end{align*}
(以下では合同式の法はすべて とします. )
より, .
\begin{align}
\therefore (a^e)^s\cdot a^t\equiv 1
\end{align}
一方, を用いると
\begin{align}
(a^e)^s\cdot a^t &\equiv 1^s\cdot a^t\\
&\equiv a^t
\end{align}
(1), (2) より, .
ここで とすると, は自然数で [tex: t・証明の流れ
・証明
が の倍数より,
\begin{align*}
2^{2^n}+1\equiv 1\pmod{p}
\end{align*}
(以下では, 合同式の法が のときは表記を省略します. )
ここから式変形して,
\begin{align*}
(\ast)\,\,\,\,2^{2^n}&\equiv -1\\
\left(2^{2^n}\right)^2 &\equiv (-1)^2\\
\therefore 2^{2^{n+1}} &\equiv 1
\end{align*}
法 に関する の位数を とすると, (補題1) により,
は を約数にもつので,
は のいずれかになります.
そこで, 背理法を使って, であることを示していきます.
, ( は自然数で ) と仮定します. (つまり, が でないと仮定します. )
つまり,
\begin{align*}
2^{2^{i}}\equiv 1
\end{align*}
このとき,
「 を満たす自然数 について が成り立つ」
ことを帰納法で示します.
[1] のときは明らか.
[2] で成り立つと仮定すると,
\begin{align*}
2^{2^k}\equiv 1
\end{align*}
のとき,
\begin{align*}
2^{2^{k+1}} &= 2^{2^k\cdot 2}\\
&= (2^{2^k})^2\\
&\equiv 1^2\\
&\equiv 1
\end{align*}
より成り立つ.
[1], [2] より, .
ここで, の仮定から, .
一方で,
はじめに出て来た式 は
\begin{align*}
(\ast)\,\,\,\,2^{2^n}\equiv -1
\end{align*}
なので,
\begin{align*}
1\equiv -1 \pmod{p}
\end{align*}
ところが, は素数で, (奇数) の約数より は奇数なので, 上の式を満たさない. よって, 矛盾が生じたので, 背理法の仮定が誤りで, 位数 は
\begin{align*}
e = 2^{2^{n+1}}
\end{align*}
ここで, Fermat の小定理より
\begin{align*}
2^{p-1} \equiv 1
\end{align*}
が成り立ち, (補題)により, は の倍数.
つまり,
\begin{align*}
p-1 &\equiv 0 \pmod{e}\\
\therefore p&\equiv 1 \pmod{2^{n+1}}
\end{align*}