自然対数の底 e が無理数である証明
以前の記事で, 円周率が無理数, つまり (整数) / (整数) と分数の形では表せない証明として, Nivenの方法を紹介しました.
自然対数の底とは, 次の式で定義される数です.
\begin{align*}
e &= \lim_{x\to\pm\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\\
&= 2.718281828\ldots
\end{align*}
証明.
証明の手順
- 自然数 に対して,
f_n(x) &= x^ne^{1-x}\\
a_n &= \int_0^1 f_n(x)\,dx
\end{align}
とおく.
2. を示す.
3. \begin{align}
\dfrac{a_n}{n!} = e-\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{k!}
\end{align}
を示す.
4. 2. 3. を用いて, 背理法で が無理数であることを示す.
では, 詳しい証明を見ていきます.
証明.
手順の1. のように を定めた上で, 2. 以降を示していきます.2.
を で微分すると,
\begin{align*}
f_n^\prime(x) &= nx^{n-1}e^{1-x}-x^ne^{1-x}\\
&= (n-x)x^{n-1}e^{1-x}
\end{align*}
となります.
は自然数なので, で, のとき, より です.
よって, は において単調増加関数で,
,
なので, .
ここで, この不等式において等号は のとき常には成り立たないので,
\begin{align*}
0\leqq \int_0^1 f_n(x)\,dx \leqq \int_0^1 1\,dx = 1
\end{align*}
3.
まず を計算すると,
\begin{align*}
a_1 &= \int_0^1 xe^{1-x}\,dx \\
&= \Big[-xe^{1-x}\Big]_0^1+\int_0^1 e^{1-x}\,dx\\
&= -1 + \Big[-e^{1-x}\Big]_0^1\\
&= -1-(1-e)\\
&= e-2
\end{align*}
次に, を で表します.
\begin{align*}
a_{n+1} &= \int_0^1 x^{n+1}e^{1-x}\,dx\\
&= \Big[-x^{n+1}e^{1-x}\Big]_0^1 + (n+1)\int_0^1 x^ne^{1-x}\,dx\\
&= -1 + (n+1)a_n
\end{align*}
この式を用いて (2) 式を帰納法で示します.
[1] のとき
\begin{align*}
\dfrac{a_1}{1!} = e-2
\end{align*}
\begin{align*}
e-\sum_{k=1}^1 \dfrac{1}{k!} &= e-(1+1)\\
&= e-2
\end{align*}
よりのときは成立.
[2] のとき成り立つと仮定すると,
\begin{align*}
\dfrac{a_m}{m!} = e-\sum_{k=0}^m \dfrac{1}{k!}
\end{align*}
のとき
\begin{align*}
\dfrac{a_{m+1}}{(m+1)!} &= \dfrac{-1+(m+1)a_m}{(m+1)!}\\
&= -\dfrac{1}{(m+1)!}+\dfrac{a_m}{m!}\\
&= -\dfrac{1}{(m+1)!}+\left(e-\sum_{k=0}^m\dfrac{1}{k!}\right)
&= e-\sum_{k=0}^{m+1} \dfrac{1}{k!}
\end{align*}
よって, のときも成立.
[1], [2] より, すべての について (2) 式が成り立つ.
4. (2)式の両辺に をかけると
\begin{align*}
a_n = n!e-n!\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}
\end{align*}
移項して,
\begin{align}
n!e = a_n+n!\sum_{k=0}^n \dfrac{1}{k!}
\end{align}
ここで, を有理数と仮定すると, , (は自然数) と書くことができます. この両辺に を掛けると,
\begin{align*}
q!e = (q-1)!p
\end{align*}
一方で, (3)式は のときも成り立ち,
\begin{align*}
q!e = a_q + q!\sum_{k=0}^q \dfrac{1}{k!}
\end{align*}
なので,
\begin{align*}
(q-1)!p = a_q + \sum_{k=0}^q \dfrac{q!}{k!}
\end{align*}
という式が成り立ちます.
ところで, 左辺の は整数です(は整数なので).
右辺をみると, は に対しては整数ですが, は より整数ではないので, 右辺は整数ではないことになります.
等式の左辺は整数で, 右辺は整数でない, というのは矛盾なので, が有理数という仮定が誤りで, は無理数ということになります.
長くなりましたが, これで証明終了です.