数学の力

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初等関数の導関数

定義・定理・公式

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今回は, 高校までで扱う基本的な関数の導関数を紹介します.

導関数の定義についてはこちら.

1. 定数関数 $f(x)=c$

$(c) ^\prime = 0$

2. $n$ 次の単項式( $n$ は自然数) $f(x)=x^n$

$(x^n)^\prime = nx^{n-1}$

3. 2. は $n$ の部分が0でない実数のときも成り立ちます.

例えば, $\sqrt{x}=x^\frac{1}{2}$ の導関数は $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

実数の場合は高校で習う範囲では証明ができません．

4. 指数関数( $a>0$ , $a\neq 1$ ) $f(x)=a^x$

$(a^x)^\prime = a^x\log_{e}{a}$

特に, $a=e$ のとき

$(e^x)^\prime = e^x$

ここで, $e$ はネイピア数(自然対数の底)です.

5. 対数関数( $a>0$ ) $f(x)=\log_{a}{x}$

$(\log_{a}{x})^\prime = \dfrac{1}{x\log_{e}{a}}$

特に, $a=e$ のとき,

$(\log_{e}{x})^\prime = \dfrac{1}{x}$

6. 三角関数 $f(x)=\sin{x}, \cos{x}, \tan{x}$

$(\sin{x})^\prime = \cos{x}$

$(\cos{x})^\prime = -\sin{x}$

$(\tan{x})^\prime = \dfrac{1}{\cos^2{x}} = 1+\tan^2{x}$

$\left(\dfrac{1}{\tan{x}}\right)^\prime = -\dfrac{1}{\sin^2{x}} = -\left(1+\dfrac{1}{\tan^2{x}}\right)$

それぞれの導出は別の記事で書こうと思います．

実際に複雑な関数の微分をする場合は, これらの基本的な導関数に加えて, 「関数の積の導関数」や「合成関数の導関数」, 「逆関数の導関数」などいろいろな公式を利用することになります.