フラーレンの面の数

炭素原子だけで構成されるものとして, 鉛筆に使われる黒鉛, 宝石として有名なダイヤモンド, そして, 1985年に発見されたフラーレンがあります.

フラーレンは, 上図のように, 5角形と6角形の面からなる立体の形をしています. 上図は炭素原子60個からなるフラーレン $\mathrm{C}_{60}$ で, サッカーボールと同じ形をしていて, 5角形の面12個, 6角形の面20個からなります.

最初に発見されたフラーレンはこの $\mathrm{C}_{60}$ なのですが, 後に同じく5角形と6角形のみからなる別の, もっと面の数が多いフラーレン $\mathrm{C}_{70}$ などが発見されてきました.

ところが, すべてのフラーレンに共通する面白い性質があったのです. それは,

5角形の面の数は12個

というものです. 面のかずをいくら増やそうとしても, 6角形の面だけが増えて, 5角形の面は常に12個なのです.

実はこの性質を簡単に示すことができるので, 以下で紹介します.

まず, オイラーの多面体定理を紹介します.

定理.

(穴の開いていない)多面体について,

(頂点の数) + (面の数) - (辺の数) = 2

例えば, 立方体では頂点は8個, 面は6個, 辺は12個なので, $8+6-12=2$ と成り立ちます.

また, フラーレン $C_{60}$ の形では, 頂点は60個, 面は32個, 辺は90個なので, $60+32-90=2$ と成り立ちます.

この定理を使って, 5角形の面が12個になることを示します.

多面体が5角形の面 $m$ 個, 6角形の面 $n$ 個からなるとして, 頂点, 面, 辺の数を数えます.

その前に,

ことを確認しておきます.

1. は明らかです.

2. は, 立体になるためには1つの頂点に3つ以上の面の角が必要で, 5角形の内角は $108^\circ$ , 6角形の内角は $120^\circ$ なので4つ以上の面の角が集まることはできないからです(角の和が $360^\circ$ をこえることはできないので).

まず, 頂点の数を面を基準に数えると, のべ $5m+6n$ 個ですが, 上の2. により3個ずつ重複して数えているので,

(頂点の数)= $\dfrac{5m+6n}{3}$ .

次に, 面の数は5角形, 6角形の面を合わせて,

(面の数)= $m+n$ .

最後に, 辺の数は, 面を基準に数えると, のべ $5m+6n$ 個ですが, 上の1. より2個ずつ重複して数えているので,

(辺の数)= $\dfrac{5m+6n}{2}$ .

これをオイラーの多面体定理に当てはめると,

\begin{align*}
\dfrac{5m+6n}{3} + (m+n) - \dfrac{5m+6n}{2} = 2
\end{align*}

左辺を整理すると, $n$ が消えて,

\begin{align*}
\dfrac{m}{6} &= 2\\
\therefore m &= 12
\end{align*}

よって, 5角形の面の数は 12個になります.

数学の力