三角形の存在条件
三角形の存在条件とは
三角形の存在条件とは, 3つの数 が与えられたときに, 3辺の長さがそれぞれ であるような三角形が存在するための条件です.
定理. 3辺の長さがそれぞれ である三角形が存在するための必要十分条件は,
が成り立つことである.
もちろん, を入れ替えた次の2つの不等式も等価な条件になります.
\begin{align*}
\left|c-a\right| &< b < c+a\\
\left|a-b\right| &< c < a+b
\end{align*}
\left|c-a\right| &< b < c+a\\
\left|a-b\right| &< c < a+b
\end{align*}
特に, である場合は, 左側の不等式は明らかに成り立つので,
\begin{align*}
a < b+c
\end{align*}
のみ確認すればいいです.a < b+c
\end{align*}
(短い2辺の和が残りの辺より長い)
例.
1. であるから, 3辺の長さが である三角形は存在する.
2. 3辺の長さが の三角形が存在するための条件を求める.
まず, がすべて正でないといけないので, .
存在条件を使って,
なので, 絶対値を外しました.
あとは, この不等式を解くと,
左側から,
右側から,
まとめると, のとき三角形は存在します.
不等式を解くときに絶対値記号があるとややこしくなるので, 上のように絶対値を簡単に外せるように意識して定理の にどの辺を当てはめるかを選ぶといいです.