極限の計算(自作問題1-(13))

問題.

今回は自作問題集1-(13), 極限の計算の問題です.

問題. 

次の極限を求めよ. 但し, の逆関数をとする.

\begin{align*}
\lim_{a\to+0} \dfrac{1}{a}\sin^{-1}\left(\dfrac{1-\cos{a}}{a}\right)
\end{align*}

 

三角関数の逆関数を含む極限の問題ですが, の性質を知らなくても解ける問題です.

但し,

\begin{align*}
\lim_{x\to 0}\frac{\sin^{-1}{x}}{x}=1
\end{align*}

を使って, そのまま解くこともできるので, そちらは追記に別解として載せておきます.

ちなみにこの式は

\begin{align*}
\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin{y}}=1
\end{align*}

においてとおいたものです.

解答例.

とおくと, . このとき,
\begin{align*}
\frac{1-\cos{a}}{a\sin{t}} = 1
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\lim_{a\to+0} \frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\frac{1-\cos{a}}{a}\right) &= \lim_{a\to+0} \frac{t}{a}\\
&= \lim_{a\to+0}\frac{t}{a}\cdot \frac{1-\cos{a}}{a\sin{t}}\\
&= \lim_{a\to+0}\frac{1-\cos{a}}{a^2}\cdot\frac{t}{\sin{t}}
\end{align*}
ここで,
\begin{align*}
\lim_{a\to+0} \frac{1-\cos{a}}{a^2} &= \lim_{a\to+0} \frac{1-\cos{a}}{a^2}\cdot\frac{1+\cos{a}}{1+\cos{a}}\\
&= \lim_{a\to+0} \frac{1-\cos^2{a}}{a^2(1+\cos{a})}\\
&= \lim_{a\to+0} \frac{\sin^2{a}}{a^2(1+\cos{a})}\\
&= \lim_{a\to+0} \left(\frac{\sin{a}}{a}\right)^2\cdot\frac{1}{1+\cos{a}}\\
&= 1^2\cdot\frac{1}{1+1}\\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}
また, のときより, なので,
\begin{align*}
\lim_{a\to+0} \frac{t}{\sin{t}} &= \lim_{t\to+0} \frac{t}{\sin{t}}\\
&= 1
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\lim_{a\to+0} \frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\frac{1-\cos{a}}{a}\right) &= \frac{1}{2}\cdot 1\\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}

追記. (別解)

のとき,

\begin{align*}
\frac{1-\cos{a}}{a} &= \frac{(1-\cos{a})(1+\cos{a})}{a(1+\cos{a})}\\
&= \frac{\sin^2{a}}{a(1+\cos{a})}\\
&= \frac{\sin{a}}{a}\cdot \frac{\sin{a}}{1+\cos{a}}\\
&\to +0
\end{align*}

となる. そこで,

\begin{align*}
b = \frac{1-\cos{a}}{a} = \frac{\sin^2{a}}{a(1+\cos{a})}
\end{align*}

とおくと, のとき.

よって,

\begin{align*}
\lim_{a\to+0}\frac{1}{a}\sin^{-1}\left(\frac{1-\cos{a}}{a}\right) &= \lim_{a\to+0} \frac{1}{a}\sin^{-1}{b}\\
&= \lim_{a\to+0} \frac{\sin^{-1}{b}}{b}\cdot \frac{b}{a}\\
&= \lim_{a\to+0} \frac{\sin^{-1}{b}}{b}\cdot \left(\frac{\sin{a}}{a}\right)^2\frac{1}{1+\cos{a}}\\
&= 1\cdot 1^2\cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{1}{2}
\end{align*}