数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

京大2016年度理系第2問(整数問題)

問題.

素数  p, q を用いて

 p^q+q^p

と表される素数をすべて求めよ.

素数に関する整数問題です. 答えだけなら簡単に(当てはめて)求まりますが, それ以外に答えがないことを示す必要があります.  p, q に小さい素数を当てはめてみることで解答の糸口を探します.

 

 

解答.

与えられた式の対称性から,  p\leqq q としてよい.

[1]  p=2,  q=2 のとき

 p^q+q^p=2^2+2^2=8 より素数でない.

 

[2]  p=2,  q=3 のとき

 p^q+q^p=2^3+3^2=17 より素数である.

 

[3]  p=2,  q\geqq 5のとき

5 以上の素数は, 自然数  n を用いて  6n\pm 1 と書くことができる

( \because 6 で割った余りが 0, 2, 3, 4 である自然数はそれぞれ 6, 2, 3, 2 の倍数となり素数でない).

このとき,

\begin{align*}
p^q+q^p &= 2^{6n\pm 1}+(6n\pm 1)^2\\
&\equiv (-1)^{6n\pm 1}+(\pm 1)^2\\
&\equiv -1+1\\
&\equiv 0
\end{align*}

ただし,  A\equiv B A-B が 3 で割り切れる (つまり,  A B を 3 で割った余りが等しい)ことを表し,  2\equiv -1,  6n\pm 1\equiv \pm 1 を途中で用いています.

(これを合同式といいます. 合同式についてはこちら. )

 

よって,  p^q+q^p は 3 の倍数であって,  p^q+q^p>p+q>3 より, これは素数でない.

 

[4]  p\geqq 3,  q\geqq 3 のとき

 p, q はともに奇数なので,  p^q+q^p は偶数となり,  p^q+q^p>p+q>2 なので,  p^q+q^p素数でない.

[1]~[4]より, 素数  p, q を用いて  p^q+q^p と表される素数は17のみ.

 

追記.

上にも書きましたが, 今回のような問題では, まず  p, q としていくつか素数を当てはめて  p^q+q^p素数になるかを調べてから解答の糸口を探します. まず, 場合分けの[1], [2], [4]の場合はすぐに気が付きますが, [3]の証明が問題です. 実際に小さい素数を当てはめると,

 2^5+5^2=57=3\cdot 19,  2^7+7^2=177=3\cdot 59 などから,  p^q+q^p が3の場合になると言えそうです. そこで, 5 以上の素数 6n\pm 1 と書けることを利用して証明ができました.

 

このような問題では, 3 以上の素数 4n\pm 1 6n\pm 1 と表されることを使うことがあるので, 覚えておきましょう.

 

大学入試の実際の答案では, 高校までで習わないもの(今回の場合, 合同式  \equiv)は自分で定義したうえでなら用いてかまいません. (裏を返すと, 高校で習わない内容や記号を勝手に使うと, 減点されることがあります.大学や学部によって採点基準は変わると思うので,参考までに.)