問題.
自作問題集の14, 確率とコンビネーションの計算の問題です.
問題.
個の赤玉と 個の白玉が入った袋から 個の玉を同時に取り出すとき, 赤玉が 個 含まれる確率を とするとき, , をそれぞれ求めよ.
解答例.
個から 個を取り出す方法が 通り. 赤玉 個のとき, 白玉は 個取り出すことになるので, その場合の取り出し方は 通り. 故に,\begin{align*}
p_k = \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}
\end{align*}
(確率の定義により, )
\begin{align}
\sum_{k=0}^n p_k = 1 \tag{1}
\end{align}
であるから,
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n p_k &= 1-p_0\\
&= 1-\frac{1}{{}_{2n}C_n}
\end{align*}
また, 式(1)より,
\begin{align*}
\sum_{k=0} ^ n \frac{({}_nC_k)^2}{{}_{2n}C_n}&= 1\\
\therefore \sum_{k=0} ^ n ({}_nC_k) ^ 2 &= {}_{2n}C_n
\end{align*}
のとき
なので, のとき
これは のときも成り立つ.
よって,
\begin{align*}
\sum_{k=1} ^ n k ^ 2p_k = \frac{n ^ 3}{2(2n-1)}
\end{align*}
追記.
この問題では, 後半部分で必要なコンビネーションの2乗和\begin{align*}
\sum_{k=0} ^ n ({}_nC_k) ^ 2 = {}_{2n}C_n
\end{align*}
を知らなくても, 前半部分で導かれることに気付けるかどうか, がカギになっています.