問題.
問題.
の方程式
の解を全て求めよ.
相反方程式のようでありながら, の偶数乗の係数の正負が反転している問題です. 高校の教科書などでは見かけないタイプですが, 相反方程式とほぼ同じ解き方で解くことができます.
相反方程式についてはこちらを見てください.
答えはこのページの下にあります.
解答.
は明らかに解ではないので, 方程式の両辺を で割って,整理して,
とおくと,
\begin{align*}
x^2+\frac{1}{x^2}&= \left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2\cdot x \cdot \frac{1}{x}\\
&= s^2+2
\end{align*}
\begin{align*}
x^3-\frac{1}{x^3} &= \left(x-\frac{1}{x}\right)^3+3\cdot x\cdot \frac{1}{x}\cdot\left(x-\frac{1}{x}\right)\\
&= s^3+3s
\end{align*}
なので,
整理して,
因数分解して,
よって, .
より,
\begin{align*}
\left\{
\begin{array}{l}
x^2-2x-1=0\\
x^2-4x-1=0\\
2x^2-3x-2=0
\end{array}\right.
\end{align*}
これらを解いて,