相反方程式

高校で学習する範囲で出てくる方程式は, 1次, 2次方程式(解の公式で必ず答えを求められる)と, 3次以上の高次方程式で, 上手く解ける形のものがあります. (実際には3次, 4次方程式には解の公式が存在しますが, 実用的ではありません. )

高校範囲で出題される3次以上の方程式には主に次の2パターンがあります.

因数定理を使って解けるもの.
相反方程式

相反方程式とは

相反方程式の例.

$x^4+3x^3+5x^2+3x+1=0$

$2x^4-4x^2+2=0$

上の方程式では, $x$ の係数がそれぞれ(ゼロを含めて) (1, 3, 5, 3, 1), (2, 0, -4, 0, 2)と対称的になっています. このように, 奇数項で係数が対称的な方程式を相反方程式といいます.

相反方程式の解き方

例.

例として, 次の方程式を解いてみましょう.

\begin{align*}
x^4-x^3-10x^2-x+1=0
\end{align*}

まず, $x=0$ は解ではない(この方程式の左辺に代入すれば, 定数項の $1$ が残る)ので, 与えられた方程式の両辺を $x^2$ で割って,

\begin{align*}
x^2-x-10-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0
\end{align*}

次のように整理します.

\begin{align*}
\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-10=0
\end{align*}

$\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$ とおくと,

\begin{align*}
x^2+\frac{1}{x^2} &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\\
&= t^2-2
\end{align*}

なので, 方程式の左辺を $t$ の式に直すと,

\begin{align*}
\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)-10 &= (t^2-2) +-t-10\\
&= t^2-t-12\\
&= (t-4)(t+3)\\
&= 0
\end{align*}

より, $t=4, -3$ .

後は, この $t$ に対応する $x$ の値を $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$ , つまり $x^2-tx+1=0$ から求めます.

$x=4$ のとき, $x^2-4x+1=0$ より $x=2\pm\sqrt{3}$ .

$x=-3$ のとき, $x^2+3x+1=0$ より $\displaystyle \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ .

従って元の相反方程式の解は $\displaystyle x=2\pm\sqrt{3}, \frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}$ となります.

一般的には.

一般的には, $x$ の $2n$ 次の相反方程式は, まず両辺を $x^n$ で割って, 係数の対称性を利用して整理します. その式を $\displaystyle t=x+\frac{1}{x}$ を用いて方程式を書き直してできる $n$ 次の方程式の解 $t$ から $x$ を求めます. 上の例より次数が高ければ,

\begin{align*}
x^3+\frac{1}{x^3} &= \left(x+\frac{1}{x}\right)^3-3\left(x+\frac{1}{x}\right)\\
&= t^3-3t
\end{align*}

を用います. この場合は, $t$ の3次方程式になるので, 因数定理からその解を求めることになります. (基本的に試験などで問われる場合, きれいに解けるように数値が設定されているはずです. )