数学の力

問題.

自作問題集

積分

問題 .

$\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{|x^3|e^{x^2}}{1+e^x} \,dx$ の値が $\displaystyle \int_{0}^{1} x^3e^{x^2} \,dx$ の値に等しいことを示し, その値を計算せよ.

被積分関数 $\displaystyle \frac{|x^3|e^{x^2}}{1+e^x}$ に絶対値が含まれているので, 絶対値の中が正である範囲と負である範囲に分けて積分します. そのうち一方を置換積分を用いて変形することで, $\displaystyle \int_{0}^{1} x^3e^{x^2} \,dx$ に等しいことを示すことができます.

$(1+e^x)\cdot(1+e^{-x})=(1+e^x)+(1+e^{-x})$ となることを利用した問題です.

その後の計算は, 部分積分を用いると簡単に計算できます.

問題.

今回は自作問題集の1-(1)の定積分と極限の問題の解答・解説です.

問題.

極限 $\displaystyle \lim_{n\to+0} \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{x}{\tan{x}}-1\right)^2 dx$ を計算せよ.

被積分関数は2乗の部分を展開して, 上手く部分積分を使って計算します.

部分積分 :

$\displaystyle \int_a^b f(x)g^\prime(x) dx = \Big[f(x)g(x)\Big]_a^b-\int_a^b f^\prime (x)g(x) dx$

$\displaystyle \left(\frac{1}{\tan{x}}\right)^\prime=-\dfrac{1}{\sin^2{x}}=-1-\frac{1}{\tan^2{x}}$

となることを上手く使えるかどうかがポイントです.

極限の計算の部分は $\displaystyle \lim_{n\to+0}\frac{n}{\sin{n}}=1$ の公式を使って計算します.

解答例.

$\begin{align*} \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{x}{\tan{x}}-1\right)^2 dx=\int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2}{\tan^2{x}} dx - \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2x}{\tan{x}}dx + \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} dx \end{align*}$
ここで, $\sin^2{x}+\cos^2{x}=1$ の両辺を $\sin^2{x}$ で割ると $\displaystyle1+\frac{1}{\tan^2{x}}=\frac{1}{\sin^2{x}}$ なので,
$\begin{align*} \left(\frac{1}{\tan{x}}\right)^\prime &= -\frac{1}{\sin^2{x}}\\ &= -1-\frac{1}{\tan^2{x}} \end{align*}$
よって, 部分積分で

$\begin{align*} f(x)=\frac{1}{\tan{x}},\quad g^\prime(x)=2x \end{align*}$

と考えると
$\begin{align*} f^\prime(x) = -\left(1+\frac{1}{\tan^2{x}}\right), \quad g(x)=x^2 \end{align*}$

で,

\begin{align}
\int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2x}{\tan{x}} dx &= \left[\frac{x^2}{\tan{x}}\right]_n^{\frac{\pi}{4}} + \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(1+\frac{1}{\tan^2{x}}\right)x^2 dx \\
&= \frac{\pi^2}{16}-\frac{n^2}{\tan{n}}+\int_{n}^{\frac{\pi}{4}} x^2 dx+\int_n^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2}{\tan^2{x}} dx\\
&= \frac{\pi^3}{192}+\frac{\pi^2}{16}-\frac{n^2}{\tan{n}}-\frac{1}{3}n^3+\int_n^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2}{\tan^2{x}} dx
\end{align}

$\begin{align*} \therefore \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2}{\tan^2{x}} dx - \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2x}{\tan{x}}dx = -\frac{\pi^3}{192}-\frac{\pi^2}{16}+\frac{n^2}{\tan{n}} + \frac{1}{3}n^3 \end{align*}$
また, $\displaystyle \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} dx = \frac{\pi}{4}-n$ なので,
$\begin{align*} \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{x}{\tan{x}}-1\right)^2 dx = -\frac{\pi^3}{192}-\frac{\pi^2}{16}+\frac{\pi}{4}+\frac{n^2}{\tan{n}} + \frac{1}{3}n^3 - n \end{align*}$
ここで,
$\begin{align*} \lim_{n\to +0} \frac{n^2}{\tan{n}} &= \lim_{n\to +0} \left(\frac{n}{\sin{n}}\cdot n\cos{n}\right)\\ &= 1\cdot 0\cdot 1 \\ &= 0 \end{align*}$
また,
$\begin{align*} \lim_{n\to+0} \left(\frac{1}{3}n^2-n\right)=0 \end{align*}$
なので,
$\begin{align*} \lim_{n\to+0}\int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{x}{\tan{x}}-1\right)^2 dx = -\frac{\pi^3}{192}-\frac{\pi^2}{16}+\frac{\pi}{4} \end{align*}$