三角関数の合成

$a\sin{x}+b\cos{x}=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)$

但し, $\displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ .

元の式の $\sin$ と $\cos$ の角が同じでないと使えない事に注意しましょう.

また, $\alpha$ の求め方が忘れやすいところですが, 右のように座標 $(a, b)$ の点を取って, 原点と結んだ線分の $x$ 軸の正の方向となす角が $\alpha$ だ, と図で頭に入れておけば忘れにくくなります.

「三角関数の角度に関するたくさんの公式」もそうですが, 複雑な公式は図を利用した方が覚えやすいですね.

簡単に証明も載せておきます.

(証明)

$\displaystyle \left(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2+\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1$ なので,

$\displaystyle \sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ となる角 $\alpha$ が存在する.

加法定理を用いれば,

\begin{align*}
a\sin{x}+b\cos{x} &= \sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{x}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{x}\right)\\
&= \sqrt{a^2+b^2}(\cos\alpha\sin{x}+\sin\alpha\cos{x})\\
&= \sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\alpha)
\end{align*}