三角関数の加法定理とその証明

三角関数の加法定理

$\sin(x+y)=\sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}$

$\sin(x-y)=\sin{x}\cos{y}-\cos{x}\sin{y}$

$\cos(x+y)=\cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}$

$\cos(x-y)=\cos{x}\cos{y}+\sin{x}\sin{y}$

$\displaystyle \tan(x+y)=\frac{\tan{x}+\tan{y}}{1-\tan{x}\tan{y}}$

$\displaystyle \tan(x-y)=\frac{\tan{x}-\tan{y}}{1+\tan{x}\tan{y}}$

この定理は, 三角関数の他の定理(2倍角の定理, 半角の定理, 三角関数の合成など)を導ける, 重要な定理です. 必ず覚えておきましょう. $\tan{}$ の加法定理は, 「1引くタンタン分のタン足すタン」のようなリズムで覚えると忘れにくいです.

例.

\begin{align*}
\sin{75^\circ} &= \sin{45^\circ}\cos{30^\circ}+\cos{45^\circ}\sin{30^\circ}\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}\\
&= \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
\end{align*}

以下では, この定理の証明をします. 教科書では図形から証明することが多いですが, ここではベクトルの内積を使った方法で示します.

証明.

この証明では $x, y$ 座標を用いるので, 上の定理の式の $x, y$ を $\theta, \phi$ とした形で示します.

まず, 単位円上に2点 $A(\cos{\theta}, \sin{\theta})$ , $B(\cos{\phi}, \sin{\phi})$ をとります. このとき,

\begin{align}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\cos{\theta}\cos{\phi}+\sin{\theta}\sin{\phi} \tag{1}
\end{align}

ですが, 一方で, 2 つのベクトル $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角が $\theta-\phi$ なので, 内積の定義から,

\begin{align}
\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB} &= |\overrightarrow{OA}|\cdot|\overrightarrow{OB}|\cdot\cos(\theta-\phi)\\
&= \cos(\theta-\phi)\tag{2}
\end{align}

よって,

\begin{align}
\cos(\theta-\phi) = \cos{\theta}\cos{\phi}+\sin{\theta}\sin{\phi} \tag{3}
\end{align}

後は, $\cos(-\phi)=\cos{\phi}$ , $\sin(-\phi)=-\sin{\phi}$ を使って,

\begin{align}
\cos(\theta+\phi) &= \cos\{\theta-(-\phi)\}\\
&= \cos{\theta}\cos(-\phi)+\sin{\theta}\sin(-\phi)\\
&= \cos{\theta}\cos{\phi}-\sin{\theta}\sin{\phi} \tag{4}
\end{align}

また, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}$ , $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{x}$ の変形を用いて,

\begin{align}
\sin(\theta+\phi) &= \cos\left(\frac{\pi}{2}-(\theta+\phi)\right)\\
&= \cos\left((\frac{\pi}{2}-\theta)-\phi\right)\\
&= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\cos{\phi}+\sin\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\sin{\phi}\\
&= \sin{\theta}\cos{\phi}+\cos{\theta}\sin{\phi} \tag{5}
\end{align}

$\cos{}$ のとき同様にして,

\begin{align}
\sin(\theta-\phi) &= \sin{\theta}\cos(-\phi)+\cos{\theta}\sin(-\phi)\\
&= \sin{\theta}\cos{\phi}-\cos{\theta}\sin{\phi} \tag{6}
\end{align}

ただし, この証明が成り立つためには, $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin{x}$ , $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos{x}$ を式(5)の前に示しておく必要があるが, 前者は式(3)から求まり, 後者はそれを使えば

\begin{align}
\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) &= \cos\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)\\
&= \cos{x} \tag{7}
\end{align}

となります.

また, $\tan{}$ の加法定理については,

\begin{align}
\tan(x\pm y) &= \frac{\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}\\
&= \frac{\sin{x}\cos{y}\pm\cos{x}\sin{y}}{\cos{x}\cos{y}\mp\sin{x}\sin{y}}\\
&= \frac{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\pm\frac{\sin{y}}{\cos{y}}}{1\mp\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\cdot\frac{\sin{y}}{\cos{y}}}\\
&= \frac{\tan{x}\pm\tan{y}}{1\mp\tan{x}\tan{y}} \tag{8}
\end{align}

となります.

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三角関数の加法定理とその証明

三角関数の加法定理

例.

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