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東大2014年度理系第4問(証明問題)

入試問題

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問題

次の条件を満たす組 $(x, y, z)$ を考える.

条件(A) : $x, y, z$ は正の整数で, $x^2+y^2+z^2=xyz$ および $x\leqq y\leqq z$ を満たす.

(1) 条件(A)を満たす組 $(x, y, z)$ で, $y\leqq 3$ となるものをすべて求めよ.

(2) 組 $(a, b, c)$ が条件(A)を満たすとする. このとき, 組 $(b, c, z)$ が条件(A)を満たすような $z$ が存在することを示せ.

(3) 条件(A)を満たす組 $(x, y, z)$ は, 無数に存在することを示せ.

無限降下法ではないですが, 似た考え方をする問題です.

解答

(1) $x\leqq y\leqq 3$ を見たす組を調べる.

$x^2+y^2+z^2=xyz$ より,

$\begin{align} z^2-xyz+(x^2+y^2)=0 \tag{1} \end{align}$

これを $z$ についての 2 次方程式とみて, 正の整数解をもつ場合を考えると, 判別式 $D \geqq 0$ より

$(xy)^2 - 4(x^2+y^2) \geqq 0$

$x^2y^2 - 4x^2-4y^2 \geqq 0$

$(x^2-4)(y^2-4)\geqq 16$

この不等式と $0 < x \leqq y \leqq 3$ を満たす $(x, y)$ の組は

$(x, y)= (3, 3)$ のみ.

このとき, 式(1)に代入すると,

$z^2-9z+18=0$

$(z-3)(z-6)=0$

$\therefore z=3, 6$

よって, $(x, y, z)=(3, 3, 3), (3, 3, 6)$ .

(2) $a^2+b^2+c^2=abc$ が成り立つとする. このとき,

$b^2+c^2+z^2=bcz$ が成り立つと仮定して $z$ を求める.

$z^2-bcz+(b^2+c^2)=0$

$z$ について解くと,

$\displaystyle z=\frac{bc\pm \sqrt{b^2c^2-4(b^2+c^2)}}{2}$

$b^2+c^2=-a^2+abc$ を代入すると,

$\begin{align} z&= \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4(-a^2+abc)}}{2}\\ &= \frac{bc\pm\sqrt{b^2c^2-4abc+4a^2}}{2}\\ &= \frac{bc\pm\sqrt{(bc-2a)^2}}{2}\\ &= \frac{bc\pm(bc-2a)}{2}\\ &= bc-a, a \tag{2} \end{align}$

よって, $z=bc-a$ とおくと, $b^2+c^2+z^2=bcz$ を満たす.

また,

$\begin{align} z-c&= bc-a-c\\ &= \frac{abc-a^2-ac}{a}\\ &= \frac{(a^2+b^2+c^2)-a^2-ac}{a}\\ &= \frac{b^2+c^2-ac}{a}\\ &= \frac{b^2+c(c-a)}{a}\\ &\geqq 0 \tag{3} \end{align}$

より, $z\geqq c$ を満たす.

以上より, $z=bc-a$ とおけば組 $(b, c, z)$ は条件(A)を満たす.

(3) 以下の漸化式によって $\{a_n\}, \{b_n\}, \{c_n\}$ を定める.

$a_1=3, b_1=3, c_1=3$

$a_{n+1}= b_n, b_{n+1}= c_n, c_{n+1}=b_nc_n-a_n$

すると, (2)の結果から, すべての $n$ について

組 $(a_n, b_n, c_n)$ は条件(A)を満たし, $n$ によって異なる組となるので, 条件(A)を満たす組は無数に存在する.