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トレミーの定理の応用例

定義・定理・公式

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トレミーの定理の応用例

以前証明しているトレミーの定理の利用例を紹介します.

トレミーの定理は次のようなものでした.

円に内接する四角形 ABCD の辺と対角線の長さについて, 次の等式が成り立つ.

ptoremy's_theorem

$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

例1. (正 5 角形の対角線の長さを求める)

1 辺の長さが 1 の正 5 角形 ABCDE の対角線の長さを $x$ とおきます.

penta

図のように, 四角形 $ABCD$ でトレミーの定理を当てはめると,

$1\cdot 1+1\cdot x=x\cdot x$

$x^2-x-1=0$

となるので, 解の公式を用いて解くと $x>0$ から

$\displaystyle x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

と求まります.

正 5 角形の対角線の長さは, 内部の三角形の相似からも求められますが, トレミーの定理を使った方が簡単です.

例2. (正 7 角形のもつ性質)

正 7 角形の 2 頂点を結ぶ線分の長さを短い方から $a, b, c$ とします(右図).

hepta1

このとき, 次の式が成り立つことが知られています.

$\displaystyle \frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

これもトレミーの定理から簡単に示すことができます.

右の図のような四角形でトレミーの定理を当てはめると,

$a\cdot b+a\cdot c=b\cdot c$

となるので, 両辺を $abc$ で割れば

$\displaystyle \frac{1}{c}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a}$

となります.

例3. 正 3 角形を含む場合

四角形 ABCD の頂点のうち 3 つ(例えば B, C, D)が正 3 角形を作っている場合

tri1

$BC=CD=BD$

が成り立つことトレミーの定理から,

$AB+AD=AC$

というシンプルな式が導かれます.