数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

ペル方程式とは

定義・定理・公式

スポンサードリンク

ペル方程式とその解法

今日はペル方程式というものを紹介します.

1 次方程式や 2 次方程式では変数 $x$ や $y$ は実数値をとりました. また, 高校で学習する不定方程式( $2x+3y=23$ を満たす整数解を求める問題など)では, 変数 $x, y$ が整数値をとりました. 今回紹介するペル方程式は自然数解を求める, 次のような問題です.

ペル方程式 : $x^2-Dy^2=1$

但し, $D$ は自然数の定数とする.

このままではどこから手をつけてよいか分かりませんが, 実は次のような面白い性質があり, それを利用すれば簡単に解くことができます.

ペル方程式の性質 :

1. $x^2-Dy^2=1$ の自然数解のうち, $x$ の値が最小である解を $(x_1, y_1)$ とおくとき, 次のように自然数 $x_n, y_n$ ( $n=2, 3, \cdots)$ を定めると $(x_n, y_n)$ もまた方程式の解である

$x_n+y_n\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^n$

2. ペル方程式の解はすべて1. によって得られる

例として, 方程式 $x^2-2y^2=1$ の解を求めてみましょう.

まず, $x$ の値が最小である解を見つけます.

$x=1$ とすると $y=0$ となり自然数でないので不適です.

$x=2$ とすると $2y^2=3$ となり, このような自然数 $y$ は存在しません.

$x=3$ とすると $y=2$ となり, 解 $(x_1, y_1)=(3, 2)$ が見つかりました.

では, 上で紹介した性質を使って他の解をいくつか求めてみます.

$(3+2\sqrt{2})^2=9+12\sqrt{2}+8=17+12\sqrt{2}$

より, $(x_2, y_2)=(17, 12)$

$(3+2\sqrt{2})^3=27+54\sqrt{2}+72+16\sqrt{2}=99+70\sqrt{2}$

より, $(x_3, y_3)=(99, 70)$

これらが方程式の解になっているかを確かめると,

$17^2-2\cdot 12^2=289-2\cdot 144=1$

$99^2-2\cdot 70^2=9801-2\cdot 4900=1$

となるので, 確かに方程式を満たしています.

次に, 一般解 $(x_n, y_n)$ を求めてみます.

$(x_1+y_1\sqrt{D})^n=x_n+y_n\sqrt{D}$ が成り立つとき,

$(x_1-y_1\sqrt{D})^n=x_n-y_n\sqrt{D}$ が成り立つという性質(これは数学的帰納法で示すことができます) を用いて, これらの式を右辺の $x_n, y_n$ について解けば

$\displaystyle x_n=\frac{1}{2}\left\{(x_1+y_1\sqrt{D})^n+(x_1-y_1\sqrt{D})^n\right\}$

$\displaystyle y_n=\frac{1}{2\sqrt{D}}\left\{(x_1+y_1\sqrt{D})^n-(x_1-y_1\sqrt{D})^n\right\}$

と書くことができます. $x_n$ や $y_n$ は自然数なのに, それを表す右辺の式がルートを含んでいるので不思議な感じですね.

上の例の場合を当てはめると,

$\displaystyle x_n=\frac{1}{2}\left\{(3+2\sqrt{2})^n+(3-2\sqrt{2})^n\right\}$

$\displaystyle y_n=\frac{1}{2\sqrt{2}}\left\{(3+2\sqrt{2})^n-(3-2\sqrt{2})^n\right\}$

となります.

上の性質の証明はここでは(長くなるので)詳しくはしませんが, 参考までに, 次のような流れで示すことができます.　　(---> 詳しい証明はこちら(pdfファイルです)).

(1) $(x,y)=(a, b), (c, d)$ がともに解であるとき, 次で定める $(A_n, B_n)$ 及び, $(c^\prime, d^\prime)$ も方程式の解となることを示す.

$(a+b\sqrt{D})^n=A_n+B_n\sqrt{D}$

$\displaystyle\frac{c+d\sqrt{D}}{a+b\sqrt{D}}=c^\prime+d^\prime\sqrt{D}$

(2) $(x, y)=(p, q)$ がすべての解のうち $x$ の値が最小のもの

⇔ $(p, q)$ がすべての解のうち $x+y\sqrt{D}$ の値を最小とするもの

を示す.

(3) $x+y\sqrt{D}$ の値を最小とする解を $(p, q)$ とすると, 任意の解 $(x, y)$ について

$(p+q\sqrt{D})^n\leqq x+y\sqrt{D}<(p+q\sqrt{D})^{n+1}$ となる $n$ が存在するが, 各辺を $(p+q\sqrt{D})^n$ で割ることで,

$\displaystyle 1 \leqq \frac{x+y \sqrt{D}}{(p+q \sqrt{D})^n} < p+q\sqrt{D}$

となる. 真ん中の項を有利化したときに $s+t\sqrt{D}$ になるとおくと, $(p, q)$ の解の最小性の仮定から $(s, t)$ は自然数解ではなく $s=1, t=0$ と求まる.

次回の記事で, 実際にペル方程式がでてくる問題をいくつか紹介します.