京大2015年度理系第1問(定積分・体積)

問題

2 つの関数 $\displaystyle y=\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)$ と $y=\sin{2x}$ のグラフの $\displaystyle 0\leqq x\leqq\frac{\pi}{2}$ の部分で囲まれる領域を, $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる立体の体積を求めよ. ただし, $x=0$ と $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ は領域を囲む線とは考えない.

回転体の体積を求める問題. 積分の計算も, 三角関数の2乗の積分というありふれた問題です.

2つのグラフの交点を求めるにあたって三角関数の和と積の変換公式を使えるかどうかがポイントになってきます.

解答例

まず2つのグラフの交点の $x$ 座標を求めます.

$\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)=\sin{2x}$

$\sin\left(x+\frac{\pi}{8}\right)-\sin{2x}=0$

$\displaystyle 2\cos\left(\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{16}\right)\sin\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{16}\right)=0$

$\displaystyle 0\leqq x\leqq \frac{\pi}{2}$ より,

$\displaystyle \frac{\pi}{16}\leqq\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{16}\leqq\frac{13}{16}\pi$ ,

$\displaystyle -\frac{\pi}{16}\leqq\frac{x}{2}-\frac{\pi}{16}\leqq\frac{3}{16}\pi$

なので,

$\displaystyle \frac{3}{2}x+\frac{\pi}{16}=\frac{\pi}{2}$ , $\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{\pi}{16}=0$ より

$\displaystyle x=\frac{\pi}{8}, \frac{7}{24}\pi$ .

求める体積を $V$ とすると,

\begin{align*}
V &= \pi\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{7}{24}\pi} \left\{\sin^2{2x}-\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\right\} \,dx\\
&= \frac{\pi}{2}\int_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{7}{24}\pi} \left\{-\cos{4x}+\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\right\}\,dx\\
&= \frac{\pi}{2}\Big[-\frac{1}{4}\sin{4x}+\frac{1}{2}\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\Big]_{\frac{\pi}{8}}^{\frac{7}{24}\pi}\\
&= \frac{\pi}{2}\left\{-\frac{1}{4}\left(-\frac{1}{2}-1\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-1\right)\right\}\\
&= \frac{\pi}{16}
\end{align*}

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