京大2014年度理系第6問(定積分・面積)

問題.

双曲線 $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ の第1象限にある部分と, 原点 O を中心とする円の第1象限にある部分を, それぞれ $C_1, C_2$ とする. $C_1$ と $C_2$ は2つの異なる点 A, B で交わり, 点 A における $C_1$ の接線 $l$ と線分 $OA$ のなす角は $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ であるとする. このとき, $C_1$ と $C_2$ で囲まれる図形の面積を求めよ.

与えられた条件から, 点 A, B の座標を求めて定積分する問題ですが, 途中で $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ の三角関数が出てくるところで戸惑うかもしれません. (上手く解けば避けられます. )

解答.

$\displaystyle y=\frac{1}{x}$ 上の点 A の座標を $\displaystyle \left(p, \frac{1}{p}\right)(p>0)$ とおくと,

曲線 $C_1, C_2$ が直線 $y=x$ に関して対称であることから, 点 A と B も $y=x$ に関して対称で, $\displaystyle B\left(\frac{1}{p}, p\right)$ .

直線 OA 及び A における $C_1$ の接線が $x$ 軸の正の方向となす角をそれぞれ $\theta, \phi$ とおけば,

$\displaystyle \tan{\theta}=\frac{\frac{1}{p}}{p}=\frac{1}{p^2}.$

また, $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ に対して $\displaystyle y^\prime=-\frac{1}{x^2}$ なので

$\displaystyle \tan{\phi}=-\frac{1}{p^2}$ .

与えられた条件から, $\displaystyle \phi-\theta=\frac{\pi}{6}$ で, $\displaystyle \tan{(\phi-\theta)}=\tan{\frac{\pi}{6}}$ なので,

$\frac{-\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2}}{1+\frac{1}{p^2}\left(-\frac{1}{p^2}\right)}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\frac{-2p^2}{p^4-1}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$p^4+2\sqrt{3}p^2-1=0.$

$p^2>0$ より, $p^2=2-\sqrt{3}$ . (2次方程式の解の公式により)

このことから,

\begin{align*}
\tan{\theta}&= \frac{1}{p^2}\\
&= \frac{1}{2-\sqrt{3}}\\
&= 2+\sqrt{3}
\end{align*}

\begin{align*}
\tan{2\theta} &= \frac{2(2+\sqrt{3})}{1-(2+\sqrt{3})^2}\\
&= -\frac{1}{\sqrt{3}}
\end{align*}

$\displaystyle\frac{\pi}{2}>\theta>\frac{\pi}{4}$ から $\displaystyle 2\theta=\frac{5}{6}\pi$ .

また, 円 $C_2$ の半径は

\begin{align*}
OA &= \sqrt{p^2+\frac{1}{p^2}}\\
&= \sqrt{(2-\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})}\\
&= 2
\end{align*}

以上を踏まえて, 求める面積を $S$ とおくと,

\begin{align*}
S = \int_p^{\frac{1}{p}} \sqrt{4-x^2} dx - \int_p^{\frac{1}{p}} \frac{1}{x} dx
\end{align*}

右辺の第1項について, $x=2\cos{t}$ と置換して,

\begin{align*}
\int_p^{\frac{1}{p}} \sqrt{4-x^2} dx &= \int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}-\theta} 2\sin{t}(-2\sin{t}) dt\\
&= -2\int_{\theta}^{\frac{\pi}{2}-\theta} (1-\cos{2t})dt\\
&= -2\Big[t-\frac{1}{2}\sin{2t}\Big]_\theta^{\frac{\pi}{2}-\theta} \\
&= \frac{2}{3}\pi
\end{align*}

右辺の第2項は

\begin{align*}
\int_p^{\frac{1}{p}} \frac{1}{x} dx &= \Big[\log|x|\Big]_p^{\frac{1}{p}}\\
&= \log{\frac{1}{p}}-\log{p}\\
&= \log{\frac{1}{p^2}}\\
&= \log{(2+\sqrt{3})}
\end{align*}

従って,

\begin{align*}
S=\frac{2}{3}\pi-\log{(2+\sqrt{3})}
\end{align*}

追記.

$p$ の値は二重根号を外して $\displaystyle p=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ と求まりますが, ここではあえて求めずに済むように解いています.

また, これは後に京大の教授から聞いた話ですが, 値を暗記していて $\tan{\theta}=2+\sqrt{3}$ からいきなり $\displaystyle \theta=\frac{5}{12}\pi$ と書くと減点対象だそうです. (つまり, 高校の範囲でその値を教えていないので導け, とのこと). そのため, ここでは2倍角の定理を使って $2\theta$ を求めています. ただ，同じ大学内でも学部によって採点基準が違ったりもするようなので，これは参考までに．

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京大2014年度理系第6問(定積分・面積)

問題.

解答.

追記.