数学の力

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京大2010年度理系[甲]第4問(数学的帰納法)

入試問題

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問題.

数列 $\{a_n\}$ は, すべての正の整数 $n$ に対して $\displaystyle 0\leqq 3a_n\leqq\sum_{k=1}^n a_k$ を満たしているとする. このとき, すべての $n$ に対して $a_n=0$ であることを示せ.

数学的帰納法の次のような特別なパターンを使う問題です. このパターンを知っていれば比較的簡単に解けます.

[1] $n=1$ のときを示す.

[2] $n=1, 2, \cdots, m$ について成り立つなら $n=m+1$ でも成り立つことを示す.

$n=m+1$ の場合を示すのに, $n=1$ から $n=m$ のすべての場合の仮定が必要になっています.

解答.

\begin{align*}
0\leqq 3a_n \leqq\sum_{k=1}^n a_k
\end{align*}

数学的帰納法で示します.

[1] $n=1$ のとき

(1)で $n=1$ とすると,

$0\leqq 3a_1\leqq a_1$

となり,

$0\leqq 3a_1$ より $0\leqq a_1$

$3a_1\leqq a_1$ より $2a_1\leqq 0$ なので $a_1\leqq 0$

よって, $0\leqq a_1\leqq 0$ より $a_1=0$

[2] $n=1, 2, \cdot, m$ について $a_n=0$ が成り立つと仮定すると,

$a_1=a_2=\cdots=a_m=0$ なので,

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{m+1} a_k &= a_1+a_2+\cdots+a_m+a_{m+1}\\
&= 0+0+\cdots+0+a_{m+1}\\
&= a_{m+1}
\end{align*}

となり,

(1)で $n=m+1$ としたものを考えると

$0\leqq 3a_{m+1}\leqq a_{m+1}$

$0\leqq 3a_{m+1}$ より $0\leqq a_{m+1}$

$3a_{m+1}\leqq a_{m+1}$ より $2a_{m+1}\leqq 0$ なので, $a_{m+1}\leqq 0$

よって, $0\leqq a_{m+1}\leqq 0$ より $a_{m+1}=0$ .

したがって, [1][2]よりすべての $n$ について $a_n=0$ である.