数学の力

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京大2010年度理系[甲]第4問(数学的帰納法)

問題.

数列  \{a_n\} は, すべての正の整数  n に対して  \displaystyle 0\leqq 3a_n\leqq\sum_{k=1}^n a_k を満たしているとする. このとき, すべての  n に対して  a_n=0 であることを示せ.

数学的帰納法の次のような特別なパターンを使う問題です. このパターンを知っていれば比較的簡単に解けます.

[1]  n=1 のときを示す.

[2]  n=1, 2, \cdots, m について成り立つなら  n=m+1 でも成り立つことを示す.

 n=m+1 の場合を示すのに,  n=1 から  n=m のすべての場合の仮定が必要になっています.

 

解答.

\begin{align*}
0\leqq 3a_n \leqq\sum_{k=1}^n a_k
\end{align*}

数学的帰納法で示します.

[1]  n=1 のとき

(1)で  n=1 とすると,

 0\leqq 3a_1\leqq a_1

となり,

 0\leqq 3a_1 より  0\leqq a_1

 3a_1\leqq a_1 より  2a_1\leqq 0 なので  a_1\leqq 0

よって,  0\leqq a_1\leqq 0 より  a_1=0

 

[2]  n=1, 2, \cdot, m について  a_n=0 が成り立つと仮定すると,

 a_1=a_2=\cdots=a_m=0 なので,

\begin{align*}
\sum_{k=1}^{m+1} a_k &= a_1+a_2+\cdots+a_m+a_{m+1}\\
&= 0+0+\cdots+0+a_{m+1}\\
&= a_{m+1}
\end{align*}

となり,

(1)で  n=m+1 としたものを考えると

 0\leqq 3a_{m+1}\leqq a_{m+1}

 0\leqq 3a_{m+1} より  0\leqq a_{m+1}

 3a_{m+1}\leqq a_{m+1} より  2a_{m+1}\leqq 0 なので,  a_{m+1}\leqq 0

よって,  0\leqq a_{m+1}\leqq 0 より  a_{m+1}=0.

 

したがって, [1][2]よりすべての  n について  a_n=0 である.