整数辺をもつ直角三角形

直角三角形で, 3つの辺の長さがすべて整数であるようなものというといくつぐらい思いつくでしょうか? ただし, 3つの辺の長さが互いに素となるものを考えます.

(3, 4, 5)

(5, 12, 13)

(8, 15, 17)

くらいはよく知られていると思います.

実際にはほかにもたくさん (というか(加算)無限個) あるのですが, それらをみつけることはできないのだろうか, ということについて書いていきます.

三平方の定理

直角三角形といえば三平方の定理, 三平方の定理といえば直角三角形です.

三平方の定理.

三角形の 3 つの辺の長さがそれぞれ $a, b, c (a\leqq b\leqq c)$ とすると,

この三角形が直角三角形 ⇔ $a^2+b^2=c^2$

三平方の定理から, 辺の長さが整数である直角三角形を見つけることは, $a^2+b^2=c^2$ を満たすような整数 $(a, b, c)$ の組を見つけることと同じになります.

辺の長さは互いに素

この記事の冒頭で, 3 つの辺の長さが互いに素であるものを考える, と書きました.

3つの整数 $a, b, c$ が互いに素であるとは, $a, b, c$ の3つすべてを割り切るような自然数が 1 のみであることを言います.

例えば, (4, 6, 9) を考えると, この中の 2 つを選ぶと 4 と 6 や, 6 と 9 は互いに素ではありませんが, 3 つの組としては互いに素になります.

なぜ互いに素に限定するかというと, 互いに素でないものを含めると, (3, 4, 5) のすべてに同じ数をかけて得られる組 (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) ,... のように無数の答えが現れるからです.

逆に, 互いに素でない組に対しては, 3 つの数の最大公約数でそれぞれを割ることで互いに素な組を得ることができます. なので, すべての組の代表として, 互いに素な組だけを考えていきます.

円周上の点を考える

では, $a, b, c$ が互いに素として,

\begin{align*}
a^2+b^2=c^2
\end{align*}

を考えます.

2乗足す 2乗イコール 2乗

という形ですが, この形の式は三平方の定理以外のところで見覚えがないでしょうか?

そう, 円の方程式

\begin{align*}
x^2+y^2=r^2
\end{align*}

です.

上の式を円の方程式と見なして考えていきたいのですが, ここで両辺を $c^2$ で割って正規化しておきます. さらに $x=a/c, y=b/c$ とおくと,

\begin{align*}
x^2+y^2=1
\end{align*}

ただし, $x, y$ は正の有理数となります.

というわけで, 単位円周上の座標が有理数であるような点を見つければいいことがわかりました.

ここで, 単位円周上の点 A $(x, y) = (-1, 0)$ を通って, 傾きが $p$ であるような直線と, 単位円との交点で $(-1, 0)$ でない点 B を考えます. 交点の座標が正となるように, $0 < p < 1$ とします.

(-1, 0) を通って傾きが $p$ である直線は $y=px+p$ なので, $x^2+y^2=1$ に代入して,

\begin{align*}
x^2+\left(px+p\right)^2=1
\end{align*}

左辺を展開, 右辺を移項して解くと,

\begin{align*}
x &= \dfrac{1-p^2}{1+p^2}\\
y &= \dfrac{2p}{1+p^2}
\end{align*}

となります.

$p$ が有理数であれば, この $x, y$ も有理数となります. そこで, $p=m/n$ , $m$ と $n$ は互いに素で $0 < m < n$ とおいて代入すると,

\begin{align*}
x &= \dfrac{n^2-m^2}{n^2+m^2}\\
y &= \dfrac{2mn}{n^2+m^2}
\end{align*}

となります. これが単位円周上の点なので,

\begin{align*}
\left(\dfrac{n^2-m^2}{n^2+m^2}\right)^2+\left(\dfrac{2mn}{n^2+m^2}\right)^2=1
\end{align*}

両辺に $\left(n^2+m^2\right)^2$ をかけて分母を払うと,

\begin{align*}
\left(n^2-m^2\right)^2+\left(2mn\right)^2 = \left(n^2+m^2\right)^2
\end{align*}

となります.

よって, $(a, b, c) = (n^2-m^2, 2mn, n^2+m^2)$ , ( $m, n$ は互いに素で $0 < m < n$ ) とすればこれは三平方の定理を満たします. ただし, $m, n$ がともに奇数の場合, $a, b, c$ がすべて偶数となり互いに素ではなくなってしまうので, $m, n$ の偶奇は異なる必要があります.