方べきの定理
(1) 円の内部または外側の点 P を通る 2 本の直線がそれぞれ円と 2 点 A, B, C, D で交わっているとき, 次の式が成り立つ.
(2)のパターンは, (1)の点 P が円の外側にある場合で, 点 C と点 D が一致していると考えると覚えやすいです. この定理はすべて三角形の相似から証明されます.(2) 円の外部の点 P を通り, 円と 2 点 A, B で交わる直線と, 円と点 C で接する直線があるとき, 次の式が成り立つ.
証明.
(1)[1]点 P が円の内側にある場合円周角の定理より, , つまり
また, 対頂角の関係から,
よって, ~なので,
より, .
[2] 点 P が円の外側にある場合
円に内接する四角形の向かい合う角の和が であることを用いて,
また, は共通なので
∽ .
より, .
(2) 点 P が円の外部にあり, 直線が 1 本は円に接している場合
また, は共通.
よって, ∽.
より, .