数学の力

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方べきの定理


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方べきの定理

(1) 円の内部または外側の点 P を通る 2 本の直線がそれぞれ円と 2 点 A, B, C, D で交わっているとき, 次の式が成り立つ.

PA\cdot PB=PC\cdot PD

houbeki_1houbeki2

(2) 円の外部の点 P を通り, 円と 2 点 A, B で交わる直線と, 円と点 C で接する直線があるとき, 次の式が成り立つ.

PA\cdot PB = {PC}^2

houbeki_3

(2)のパターンは, (1)の点 P が円の外側にある場合で, 点 C と点 D が一致していると考えると覚えやすいです. この定理はすべて三角形の相似から証明されます.

証明.

(1)[1]点 P が円の内側にある場合
houbeki_prove_1
円周角の定理より,  \angle{BAC}=\angle{BDC}, つまり  \angle{PAC}=\angle{PDB}

また, 対頂角の関係から,  \angle{APC}=\angle{DPB}

よって,  \triangle{PAC}~ \triangle{PDB}なので,

 PA:PD=PC:PB より,  PA\cdot PB=PC\cdot PD.

 

 

[2] 点 P が円の外側にある場合
houbeki_prove_2
円に内接する四角形の向かい合う角の和が  180^\circ であることを用いて,

 \angle{PAC}=\angle{PDB}

また,  \angle{P} は共通なので

 \triangle{PAC} \triangle{PDB}.

 PA:PD=PC:PB より,  PA\cdot PB=PC\cdot PD.

 

(2) 点 P が円の外部にあり, 直線が 1 本は円に接している場合

houbeki_prove_3
接弦定理より,  \angle{PBC}=\angle{PCA}

また,  \angle{P} は共通.

よって,  \triangle{PBC} \triangle{PCA}.

 PB:PC=PC:PA より,  PA\cdot PB={PC}^2.