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より一般的なトレミーの定理


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より一般的なトレミーの定理

四角形 ABCD の辺と対角線の長さについて, 次の不等式が成り立つ.
Ptoremy2_theorem
AB\cdot CD+AD\cdot BC\geqq AC\cdot BD
等号が成立するのは, 四角形 ABCD が円に内接するときのみ.

この定理の等号の部分だけを取り上げた次の定理がトレミーの定理として有名です.

円に内接する四角形 ABCD について, 次の等式が成り立つ.
ptoremy's_theorem
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD

こちらの定理のみの証明はこちら.

証明.

四角形 ABCD に対して,
Ptoremy2_theorem2

 \triangle{ABE} \triangle{ADC}

となる点 E を, 辺 AB からみて点 C と反対側にとる. このとき,

\begin{align}
AB:AD=BE:DC=EA:CA \tag{1}
\end{align}

(1)より,

\begin{align}
AB\cdot DC=AD\cdot BE \tag{2}
\end{align}

 \triangle{AEC} \triangle{ABD} において,

(1)より,  AE:AC=AB:AD.

また,  \angle{EAB}=\angle{CAD} から,  \angle{EAC}=\angle{BAD}

よって, 2 辺の比とその間の角が等しいから,  \triangle{AEC} \triangle{ABD} となり,

 EC:BD=AC:AD より

\begin{align}
AC\cdot BD=AD\cdot EC \tag{3}
\end{align}

(3)-(2)より,

\begin{align}
AC\cdot BD-AB\cdot DC&=  AD\cdot EC - AD\cdot BE\\
&=  AD\cdot(EC-BE) \tag{4}
\end{align}

 

[1]3点 E, B, C が一直線上にないとき

 \triangle{BEC} に関して,  BC+BE>EC が成り立つので,  BC>EC-BE.

両辺に  AD(>0) を掛けて,

\begin{align}
AD\cdot BC&>; AD\cdot(EC-BE)\\
&=  AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad (\because (4)) \tag{5}
\end{align}

したがって,  AB\cdot CD+AD\cdot BC>AC\cdot BD.

 

[2] 3点 E, B, C が一直線上にあるとき

 EB+BC=EC より,  BC=EC-BE

両辺に  AD(>0) を掛けて,

\begin{align}
AD\cdot BC &=  AD(EC-BE)\\
&=  AC\cdot BD-AB\cdot DC\quad(\because(4)) \tag{6}
\end{align}

したがって,

\begin{align}
AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD \tag{7}
\end{align}

逆に, (7) が成り立つとき,  EB+BC=EC が成り立ち, 3点 E, B, C は一直線上にある.

このとき,  \angle{EBA}+\angle{ABC}=180^\circ で,  \triangle{ABE} \triangle{ADC} より,  \angle{ADC}+\angle{ABC}=180^\circ

よって四角形 ABCD は円に内接する.