より一般的なトレミーの定理
この定理の等号の部分だけを取り上げた次の定理がトレミーの定理として有名です.
こちらの定理のみの証明はこちら.
証明.
四角形 ABCD に対して,∽
となる点 E を, 辺 AB からみて点 C と反対側にとる. このとき,
(1)より,
と において,
(1)より, .
また, から,
よって, 2 辺の比とその間の角が等しいから, ∽ となり,
より
(3)-(2)より,
[1]3点 E, B, C が一直線上にないとき
に関して, が成り立つので, .
両辺に を掛けて,
したがって, .
[2] 3点 E, B, C が一直線上にあるとき
より,
両辺に を掛けて,
したがって,
逆に, (7) が成り立つとき, が成り立ち, 3点 E, B, C は一直線上にある.
このとき, で, ∽ より, .
よって四角形 ABCD は円に内接する.