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微分の公式

定義・定理・公式

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大学入試などで関数を微分する(導関数を求める)問題では, 分数型や合成関数型など複雑な関数が出てくるので, 「初等関数の導関数」に加えて, 微分の公式を覚えておく必要があります.

覚えておいた方がいい主な公式は以下の4つです. 特に1～4は頻繁に使う重要な公式です.

積の微分 $h(x)=f(x)g(x)$
逆数の微分 $h(x)=1/f(x)$
商(分数型)の微分 $h(x)=g(x)/f(x)$
合成関数の微分 $h(x)=g\circ f(x)=g(f(x))$
逆関数の微分 $h(x)=f^{-1}(x)$

1. 積の微分

微分可能な関数 $f(x)$ と $g(x)$ の積で表される関数

\begin{align*}
h(x) = f(x)g(x)
\end{align*}

の導関数は,

\begin{align*}
h^\prime(x) =\{f(x)g(x)\}^\prime = f^\prime(x)g(x)+f(x)g^\prime(x)
\end{align*}

これは導関数の定義から簡単に求まります.

2. 逆数の微分

$f(x)\neq 0$ のとき, 逆数 $h(x)=\dfrac{1}{f(x)}$ の導関数は

\begin{align*}
h^\prime(x) = \left(\dfrac{1}{f(x)}\right)^\prime = -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}
\end{align*}

これも導関数の定義から求まります.

3. 商(分数型)の微分

$f(x)\neq 0$ のとき, 別の関数 $g(x)$ との商の形で表される $h(x)=\dfrac{g(x)}{f(x)}$ の導関数は,

\begin{align*}
h^\prime(x) = \left(\frac{g(x)}{f(x)}\right)^\prime = \frac{f(x)g^\prime(x)-f^\prime(x)g(x)}{\{f(x)\}^2}
\end{align*}

$h(x) = \dfrac{1}{f(x)}\cdot g(x)$ と見なすことで, 1. 2. の公式から求めることができます.

また, この公式で $g(x)=1$ とすると, $g^\prime(x)=0$ なので2. の公式になります.

4. 合成関数の微分

$f(x)$ と $g(x)$ の合成関数 $h(x) = g\circ f(x) = g(f(x))$ の導関数は,

\begin{align*}
h^\prime(x) = \{g(f(x))\}^\prime = g^\prime(f(x))\cdot f^\prime(x)
\end{align*}

$y=f(x), z=h(x)=g(f(x))=g(y)$ とおくと,

\begin{align*}
\frac{dz}{dx} = \frac{dz}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}
\end{align*}

と書くことができます. 分数の掛け算のような形になっていて覚えやすいですね.

5. 逆関数の微分

$y=f(x)$ の逆関数を $h(x) = f^{-1}(x)$ とすると, $x=h(y)$ となり,

\begin{align*}
h^\prime(y) = \dfrac{dx}{dy} = \dfrac{1}{\frac{dy}{dx}}=\dfrac{1}{f^\prime(x)}
\end{align*}

が成り立ちます.

例えば, $y=f(x)=x^2 \,(x>0)$ の逆関数 $x=\sqrt{y}$ を $y$ で微分すると,

\begin{align*}
\dfrac{dx}{dy} &= \dfrac{1}{f^\prime(x)}\\
&= \dfrac{1}{2x}\\
&= \dfrac{1}{2\sqrt{y}}
\end{align*}

となります.