数学の力

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指数

定義・定理・公式

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指数の定義と性質

累乗根

$n$ は自然数とする. $n$ 乗して( $n$ 回同じものを掛けて) $a$ になる数を $a$ の $n$ 乗根といいます.

定義( $n$ 乗根) :

(1) $n$ が偶数のとき

(i) $a>0$ であれば, 実数の $n$ 乗根は絶対値の等しいものが正負1つずつ存在し, 正のものを $\sqrt[n]{a}$ , 負のものを $-\sqrt[n]{a}$ と表す.

(ii) $a<0$ であれば, 実数の $n$ 乗根は存在しない.

特に, $n=2$ の場合は $\sqrt[2]{a}$ を $\sqrt{a}$ と書く.

(2) $n$ が奇数のとき

$a$ の実数の $n$ 乗根は, $a$ と同符号のものがただ一つ存在し, それを $\sqrt[n]{a}$ と表す.

( $\ast$ ) 0の $n$ 乗根は, $n$ にかかわらず0.

このとき, 次の公式が成り立ちます.

累乗根の公式 : $m, n, p$ は正の整数で, $a>0$ , $b>0$ とする.

(1) $(\sqrt[n]{a})^n=a$ , $(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$

$\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[np]{a^{mp}}$ , $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[nm]{a}$

(2) $\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ , $\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$

例.

$\sqrt[6]{64}=2$
$\sqrt[5]{-32}=-2$
$\sqrt{27}\times\sqrt[4]{9}=\sqrt{27}\times\sqrt{3}=\sqrt{81}=9$

指数の拡張1(有理数範囲)

指数の拡張

$a$ を実数, $m, n$ を正の整数とするとき, 次のように定義します.

(1) $a^0=1$ ( $a\neq 0$ ), $\displaystyle a^{-n}=\frac{1}{a^n}$

(2) $\displaystyle a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$ ,

$\displaystyle a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$

但し, $n$ が奇数で $m$ が偶数のときは $a>0$ とします.

指数法則

指数について, 次の法則が成り立ちます.

指数法則 : $a, b$ を正の数, $m, n$ を有理数とするとき,

(1) $a^s\times a^t=a^{s+t}$ , $a^s\div a^t=a^{s-t}$ , $(a^s)^t=a^{st}$

(2) $(ab)^t=a^tb^t$ , $\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^t=\frac{a^t}{b^t}$

指数の拡張2(実数範囲)

$a^x$ の $x$ が無理数の場合については, 各項が有理数で, $x$ に収束する数列 $\{x_n\}$ を考えて, $a^{x_n}$ が収束する値を $a^x$ とします. (*注1)

例えば, $a^{\sqrt{2}}$ の場合, $\sqrt{2}$ に収束する数列 $1, 1.4, 1.41, 1.414, \ldots$ を用いて, $a^1, a^{1.4}, a^{1.41}, a^{1.414}, \ldots$ を考え, この数列の収束する値を $a^{\sqrt{2}}$ とします.

このように定義することで, 指数法則は $s$ や $t$ が実数の範囲でも成り立ちます.

例.

$\sqrt{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=\{a(a\cdot a^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=\{a(a^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{2}}\}^{\frac{1}{2}}=(a\cdot a^{\frac{3}{4}})^{\frac{1}{2}}=(a^{\frac{7}{4}})^{\frac{1}{2}}=a^{\frac{7}{8}}$
$\{(\sqrt{3})^{\sqrt{2}}\}^{\sqrt{2}}=(\sqrt{3})^{(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})}=(\sqrt{3})^2=3$

(*注1) 任意の無理数 $x$ に対して, $x$ に収束する有理数の数列が存在することが知られています．また, \ $x]に収束する数列[tex: \{x_n\}$ の取り方は1通りではありませんが， $\{a^{x_n}\}$ は同じ値に収束することが知られています.