数学の力

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指数関数, 対数関数

定義・定理・公式

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指数関数, 対数関数

指数関数

$y=a^x$ , ( $a>0, a\neq 1$ ) を, $a$ を底とする $x$ の指数関数といいます.

常に $y>0$ が成り立ち,

(1) $a>1$ のとき単調増加関数

(2) $0 < a < 1$ のとき単調減少関数

指数関数のグラフ

指数関数のグラフには次の性質があります.

(1) 点 $(0, 1)$ を通る.

(2) $x$ 軸の上側にあり, $x$ 軸が漸近線となっている.

(3) $y=a^x$ のグラフと $\displaystyle y=\left(\frac{1}{a}\right)^x$ のグラフは $y$ 軸に対して対称である.

$a>1$

$0 < a < 1$

(1) は $a^0=1$ から明らか.

(2) は, $a>1$ のとき $\displaystyle \lim_{x\to-\infty}a^x=0$ ,

$0 < a < 1$ のとき $\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0$

であることを表しています.

(3) は, $\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^x=a^{-x}$ であることから分かります.

対数関数

指数関数 $y=a^x$ , ( $a>0, a\neq 1$ ) の逆関数 $y=\log_{a}{x}$ を $a$ を底とする対数関数といいます. 定義域は $x>0$ で,

(1) $a>1$ のとき単調増加関数

(2) $0 < a < 1$ のとき単調減少関数

対数関数のグラフ

対数関数 $y=\log_{a}{x}$ のグラフは, 指数関数 $y=a^x$ のグラフと直線 $y=x$ に関して対称で,

(1) 点 $(1, 0)$ を通る.

(2) $y$ 軸の右側にあり, $y$ 軸が漸近線となっている.

(3) $y=\log_{a}{x}$ のグラフと $\displaystyle y=\log_{\frac{1}{a}}{x}$ のグラフは $x$ 軸に関して対称

$a>1$

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