微分の公式の導出
以前の記事で, 「微分の公式」を紹介したので, ここではその導出をします.1. 積の微分 のとき
2. 逆数の微分 のとき
3. 商(分数型)の微分 のとき
4. 合成関数の微分 のとき
すべて導関数の定義から求まります.
1.積の微分
まず を導関数の定義式に代入すると,\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{h(x+k)-h(x)}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x+k)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}
\end{align*}となります. 極限をとるための文字は混乱を避けるため ではなく を使うことにします.
ここで, 「同じものを引いて足しても変わらない」ということを用いて, 右辺の分子から を引いて, 同じものを足して変形していきます.
\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0} \dfrac{f(x+k)g(x+k) - f(x+k)g(x) + f(x+k)g(x) - f(x)g(x)}{k}\\
&= \lim_{k\to 0}\left\{\dfrac{f(x+k)g(x+k)-f(x+k)g(x)}{k} + \dfrac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}\right\}\\
&= \lim_{k\to 0}\left\{f(x+k)\cdot\dfrac{g(x+k)-g(x)}{k} + \dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}\cdot g(x)\right\}
\end{align*}
さて, のとき,
\begin{align*}
f(x+k) &\to f(x)\\
\dfrac{g(x+k)-g(x)}{k} &\to g^\prime(x)\\
\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} &\to f^\prime(x)
\end{align*}
なので, (2つ目, 3つ目はそれぞれ導関数の定義式そのものになっています)
\begin{align*}
h^\prime(x) = f(x)g^\prime(x) + f^\prime(x)g(x)
\end{align*}
ここで使った, 「同じものを足して引く」という変形は, 高校数学ではあまり使いませんが, 大学の微積分ではよく使うテクニックです.
2. 逆数の微分
を導関数の定義式に代入して通分すると,\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{k\to 0}\dfrac{\frac{1}{f(x+k)} - \frac{1}{f(x)}}{k}\\
&= \lim_{k\to 0} \dfrac{1}{f(x)f(x+k)}\cdot\dfrac{f(x)-f(x+k)}{k}
\end{align*}となります. ここで,
\begin{align*}
\lim_{k\to 0} f(x+k) &= f(x)\\
\lim_{k\to 0} \dfrac{f(x)-f(x+k)}{k} &= \lim_{k\to 0} -\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k}\\
&= -f^\prime(x)
\end{align*}なので(ここでも2つ目の式は導関数の定義式を使って), の導関数は
\begin{align*}
h^\prime(x) &= \dfrac{1}{f(x)f(x)}\cdot \{-f^\prime(x)\}\\
&= -\dfrac{f^\prime(x)}{\{f(x)\}^2}.
\end{align*}
3.商(分数型)の微分
と2つの関数の積と見做すことができるので, 1. の積の微分公式を当てはめると,の微分 は 2. でわかっているので, 代入すると
4. 合成関数の微分
ここでは厳密な証明ではなく, 考え方を説明します.とりあえず を導関数の定義式に代入します.
ここで, とおくと, なので,
導関数の定義式のような形をつくりたいので,
とすると,
のとき なので
\begin{align*}
\dfrac{g(y+\Delta y)-g(y)}{\Delta y} &\to g^\prime(y)\\
\dfrac{f(x+k)-f(x)}{k} &\to f^\prime(x)
\end{align*}
より,
\begin{align*}
h^\prime(x) = g^\prime(y)f^\prime(x) = g^\prime(f(x))f^\prime(x)
\end{align*}
逆関数の微分
の導関数はここで, とおくと, より, .
よって, 分母の は と書ける.
これを用いて,
\begin{align*}
h^\prime(x) &= \lim_{\Delta y\to 0} \dfrac{\Delta y}{f(y+\Delta y)-f(y)}\\
&= \dfrac{1}{f^\prime(y)}\\
&= \dfrac{1}{f^\prime(f^{-1}(x))}.
\end{align*}