二項係数の性質まとめ．
定義
二項係数は\begin{align*}
{}_nC_k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
\end{align*}
{}_nC_k = \binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!(n-k)!}
\end{align*}
二項係数に関する重要事項．
1. (組み合わせ)
個の中から 
個を選ぶ方法は 
通り．
2. (二項定理)
を展開すると
\begin{align*}
(a+b)^n &= a^n + na^{n-1}b+\cdots+{}_nC_k\,a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n\\
&= \sum_{k=0}^n {}_nC_k\,a^{n-k}b^k.
\end{align*}二項係数という名前は二項定理から来ています．
3. を固定して和をとると
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n {}_nC_k = 2^n
\end{align*}これは 2. において
とすると出てきます．
4.
\begin{align*}
{}_nC_k+{}_nC_{k+1} = {}_{n+1}C_{k+1}
\end{align*}定義を代入すればすぐに確認できます．
5. (パスカルの三角形)
左右の端に 1 を並べて，右上と左上の和を計算して三角形に並べたもの．
上から 段目の左から 番目の値は 
となる．
4. とセットで知っておきたい．
6.
式変形でよく使う形
2. (二項定理)
\begin{align*}
(a+b)^n &= a^n + na^{n-1}b+\cdots+{}_nC_k\,a^{n-k}b^k+\cdots+nab^{n-1}+b^n\\
&= \sum_{k=0}^n {}_nC_k\,a^{n-k}b^k.
\end{align*}二項係数という名前は二項定理から来ています．
3.
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n {}_nC_k = 2^n
\end{align*}これは 2. において
4.
\begin{align*}
{}_nC_k+{}_nC_{k+1} = {}_{n+1}C_{k+1}
\end{align*}定義を代入すればすぐに確認できます．
5. (パスカルの三角形)
左右の端に 1 を並べて，右上と左上の和を計算して三角形に並べたもの．
上から
4. とセットで知っておきたい．
6.
式変形でよく使う形
和を考えるときなどに使います．
