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京大2021年度理系第6問(対偶証明:平均値の定理)

問題.

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次の各問に答えよ.
問1  n 2 以上の整数とする. 3^n-2^n素数ならば  n素数であることを示せ.
問2  a 1 より大きい定数とする.微分可能な関数  f(x) f(a)=af(1) を満たすとき,曲線  y=f(x) の接線で原点  (0, 0) を通るものが存在することを示せ.


今年の問題は全体的に解く方針が分かりやすいものが多かったように感じます.


問1 は証明ですが,因数分解を利用して対偶を示せば楽です.

問2 は「微分可能な関数」,や「存在することを示せ」というあたりから平均値の定理を使うことに気がつくことができればOKです.



解説.

問1
この問題は,2以上の自然数  m に対して

 a ^ m - b ^ m =  (a-b) (a ^ {m-1}+a ^ {m-2}b + \cdots + ab ^ {m-2}+b ^ {m-1})

が成り立つことを知っていれば,簡単に対偶を示すことができます. m=2, 3 のときは展開(因数分解)の公式として覚えていると思います. a=b のとき  a^m-b^m=0となるので,剰余の定理から  a-b でくくれることが分かるかと思います.実際に  a-b で割ってみれば右辺の形になることが確かめられます.

それでは,これを用いて問題を解いていきます.


対偶「 n素数でなければ(合成数ならば), 3^n-2^n素数でない」という命題を示すことにします.

 n素数でないとき, n はある 2 つの自然数  p, q\quad(p, q\geqq 2) の積として  n=pq と表せます.このとき,

\begin{align*}
3^n - 2^n &= 3^{pq} - 2^{pq}\\
&= \left(3^p\right)^q - \left(2^p\right)^q\\
&= \left(3^p-2^p\right)\left\{\left(3^p\right)^{q-1}+\left(3^p\right)^{q-2}\cdot 2^p +\cdots 3^p\cdot\left(2^p\right)^{q-2}+\left(2^p\right)^{q-1}\right\}
\end{align*}

となります.

あとは,右辺の  3^p-2^p \left(3^p\right)^{q-1}+\left(3^p\right)^{q-2}\cdot 2^p +\cdots 3^p\cdot\left(2^p\right)^{q-2}+\left(2^p\right)^{q-1} がともに 2 以上であることが言えればいいです.

 3^p-2^p については,再び積の形にして

\begin{align*}
3^p-2^p &= (3-2)\left(3^{p-1}+3^{p-2}\cdot 2+\cdots+3\cdot2^{p-2}+2^{p-1}\right)\\
&\geqq 1\cdot p\\
&\geqq 2
\end{align*}

1行目から2行目の不等式は,各項 1 以上の  p 項の和であることから成り立ちます.

同様に,

\begin{align*}
\left(3^p\right)^{q-1}+\left(3^p\right)^{q-2}\cdot 2^p +\cdots 3^p\cdot\left(2^p\right)^{q-2}+\left(2^p\right)^{q-1} &\geqq q\\
&\geqq 2
\end{align*}

となります.したがって, 3^{pq}-2^{pq} は 2 つの 2 以上の自然数の積で書けるので,素数ではありません.よって,対偶が真なので元の命題も真で,「 3^n-2^n素数ならば  n素数である」ことが言えました.





問2
まずは,「グラフ  y=f(x) の接線で原点  (0, 0) を通るものが存在する」という条件について調べてみます.

 y=f(x) 上の点  (p, f(p)) における接線の方程式は

\begin{align*}
y &= f^\prime(p) (x-p) + f(p)\\
&= f^\prime(p)x+f(p)-pf^\prime(p)
\end{align*}

これが原点  (0, 0) を通るとき, x=0, y=0 を代入すると

\begin{align*}
0 &= f^\prime(p)\cdot 0+f(p)-pf^\prime(p)\\
\therefore f(p) &= pf^\prime(p)
\end{align*}

となります.つまり,

微分可能な関数  f(x) f(a)=af(1) を満たすとき, f(p) = pf^\prime(p) を満たす  p が存在する」ことを示せばいいことがわかります.……( \ast)



記事の冒頭にも書いたように,平均値の定理を使うと予想されるので,平均値の定理を復習しておきましょう.


平均値の定理

区間  [a, b] で連続, (a, b)微分可能な関数  f(x) について,以下を満たす実数  c が存在する.
 a < c < b
 \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f^\prime(c)

さて,条件の  f(a) = af(1) は,次のように書き換えることができます.
\begin{align*}
\frac{f(a)}{a} = \frac{f(1)}{1}
\end{align*}

つまり, g(x)=\frac{f(x)}{x} とおくと, g(a) = g(1) が成り立ちます.そこで,この  g(x) について平均値の定理を用いてみましょう.

 f(x)微分可能なので  g(x)=\frac{f(x)}{x}微分可能で,
\begin{align*}
g^\prime(x) &= \frac{xf^\prime(x) - f(x)}{x^2}
\end{align*}

なので,区間  [1, a]平均値の定理を用いると,
 \dfrac{\frac{f(a)}{a}-f(1)}{a-1} = \dfrac{cf^\prime(c)-f(c)}{c^2}
 1 < c < a
を満たす実数  c が存在します.

1つ目の式について, f(a)=af(1) より左辺は 0 なので,
 cf^\prime(c)-f(c)=0
 1 < c < a
を満たす実数  c が存在することになります.

( \ast) から,この  c に対して点  (c, f(c)) における接線が原点を通ることがわかります.

京大2021年度理系第5問(軌跡)

問題.

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第5問.
 xy 平面において,2点  \mathrm{B}(-\sqrt{3}, -1), \mathrm{C}(\sqrt{3}, -1) に対し,点  \mathrm{A} は次の条件  (\ast)を満たすとする.
 (\ast)   \angle{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{3} かつ点  \mathrm{A} y 座標は正.
次の各問に答えよ.
(1)  \triangle\mathrm{ABC} の外心の座標を求めよ.
(2) 点  \mathrm{A} が条件  (\ast) を満たしながら動くとき, \triangle{\mathrm{ABC}} の垂心の軌跡を求めよ.



(1) はいくつか考え方があるとは思いますが,この記事では余弦定理を使ってみます.

(2) の垂心については,①ベクトルで考える ②垂線の方程式から交点を求める などの方法が考えられますが,今回は①の方法で解きます.

ちなみに,実際の入試で使うべきかは分かりませんが,オイラー線の性質(三角形の重心は,外心と垂心を結んだ線分を  1:2 に内分する点) を使うと垂心は楽に求まります.



解答例.

(1) 辺  \mathrm{BC} の長さは  2\sqrt{3} なので, \triangle{\mathrm{ABC}} の外
接円の半径を  R とおいて余弦定理を使うと

\begin{align*}
2R &= \frac{2\sqrt{3}}{\sin60^\circ}\\
&= \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\\
&= 4\\
\therefore R &= 2
\end{align*}

外心は辺  \mathrm{BC} の垂直二等分線,つまり y 軸上にあるので,その座標を  (0, \alpha) とおくと,点  \mathrm{B} からの距離が  2 なので

\begin{align*}
\{0-(-\sqrt{3})\}^2 + \{\alpha - (-1)\}^2 &= 2^2\\
(\alpha+1)^2 &= 1\\
\alpha+1 &= \pm 1\\
\therefore \alpha &= -2, 0
\end{align*}

となります.点  \mathrm{A} y 座標が正で  \angle{\mathrm{BAC}}=60^\circ<90^\circ なので,外心の  y 座標は  \alpha>-1 でなければならないので,外心の座標は  (0, 0).

 

(2) (1) の結果から,点  \mathrm{A} は原点  (0, 0) を中心として半径  2 の円周の  y>0 の部分を動くことがわかります.そこで,点  \mathrm{A} の座標を  (2\cos\theta, 2\sin\theta), (0<\theta<\pi) とおきます.

 \mathrm{BC} x 軸に平行なので, \mathrm{A} から  \mathrm{BC} に下ろした垂線の方程式は  y=(2\cos\theta) x. よって, \triangle{\mathrm{ABC}} の垂心の  x 座標は  2\cos\theta.

次に,垂心の  y 座標を  t とおくと,

\overrightarrow{BH} = (2\cos\theta+\sqrt{3}, t+1)

また,

\overrightarrow{AC} = (-2\cos\theta+\sqrt{3}, -2\sin\theta-1)

なので,

\begin{align*}
\overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC} &= (2\cos\theta+\sqrt{3})(-2\cos\theta+\sqrt{3})+(t+1)(-2\sin\theta-1)\\
&= -4\cos^2\theta+3-2\sin\theta-1-(2\sin\theta+1)t\\
&= -4(1-\sin^2\theta)-2\sin\theta+2-(2\sin\theta+1)t\\
&= 4\sin^2\theta-2\sin\theta-2-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(2\sin\theta-2)-(2\sin\theta+1)t\\
&= (2\sin\theta+1)(-t+2\sin\theta-2)
\end{align*}

 \overrightarrow{BH}\perp\overrightarrow{AC} より  \overrightarrow{BH}\cdot\overrightarrow{AC}=0なので, t=2\sin\theta-2.

 

※ 三角形の外心  O,重心  G,垂心  H \overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}を満たすことを用いると,外心が  (0, 0), 重心は  \frac{2}{3}\cos\theta, \frac{2}{3}\sin\theta-\frac{2}{3} から垂心  2\cos\theta, 2\sin\theta-2 がすぐに求まります.
したがって,垂心の座標  (s, t) s=2\cos\theta, t=2\sin\theta-2 なので,

\begin{align*}
s^2 + (t+2)^2 &= 4\cos^2\theta + 4\sin^2\theta\\
&= 4
\end{align*}

 0<\theta<\pi より [tex: -2-2].

以上より, \triangle{\mathrm{ABC}} の垂心の軌跡は円  x^2+(y+2)^2=4 y>-2 の部分.