2倍角の公式
については, 右辺が3通りの書き方がありますが, どれも重要なので覚えておきましょう.
例. のとき,
\begin{align*}
\cos{2x} &= 1-2\sin^2{x}\\
&= 1-2\left(\frac{1}{3}\right)^2\\
&= \frac{7}{9}
\end{align*}
(証明).
加法定理\begin{align*}
\sin(x+y)&= \sin{x}\cos{y}+\cos{x}\sin{y}\\
\cos(x+y)&= \cos{x}\cos{y}-\sin{x}\sin{y}
\end{align*}
において とすることで求まる. については, を利用した変形から, 右辺が3通りの書き方ができる.
3倍角の公式
(証明).
\begin{align*}
\sin{3x} &= \sin{x}\cos{2x}+\cos{x}\sin{2x}\\
&= \sin{x}(1-2\sin^2{x})+\cos{x}\cdot 2\sin{x}\cos{x}\\
&= \sin{x}-2\sin^3{x}+2\sin{x}\cos^2{x}\\
&= \sin{x}-2\sin^3{x}+2\sin{x}(1-\sin^2{x})\\
&= 3\sin{x}-4\sin^3{x}
\end{align*}
\begin{align*}
\cos{3x} &= \cos{x}\cos{2x}-\sin{x}\sin{2x}\\
&= \cos{x}(2\cos^2{x}-1)-\sin{x}\cdot2\sin{x}\cos{x}\\
&= 2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}\sin^2{x}\\
&= 2\cos^3{x}-\cos{x}-2\cos{x}(1-\cos^2{x})\\
&= 4\cos^3{x}-3\cos{x}
\end{align*}
半角の公式
\sin^2{\frac{x}{2}} &= \frac{1-\cos{x}}{2}\\
\cos^2{\frac{x}{2}} &= \frac{1+\cos{x}}{2}\\
\end{align*}
例.
\begin{align*}
\sin^2{15^\circ} &= \frac{1-\cos{30^\circ}}{2}\\
&= \frac{1}{2}\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\
&= \frac{2-\sqrt{3}}{4}\\
&= \frac{4-2\sqrt{3}}{8}\\
&= \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{8}
\end{align*}
より,
(証明).
2倍角の公式から,
が成り立つので, それぞれの式を について解けば, 上の公式が導かれる.