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徳島大学2005年度 (相加相乗平均の不等式の別証明)


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相加相乗平均の別証明

今回は, 2005年度に徳島大学で出題された, 相加相乗平均の不等式の証明を紹介します.

問題. 

 n自然数とする.

(1)  A を正の実数とし, 関数

f(x) = \left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^{n+1}-\left(\dfrac{A}{n}\right)^nx

を考える.  x>0 のとき  f(x)\geqq 0 が成り立つことを示せ.

(2)  a_1 > 0, a_2 > 0, \ldots, a_n > 0 とする. 次の不等式が成り立つことを数学的帰納法によって証明せよ.

\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\geqq a_1a_2\cdots a_n

 

相加相乗平均の不等式については様々な証明方法があり, 下のリンク先で 2 通りの証明を紹介しています.


上の問題の解答例 (相加相乗平均の証明)

上の問題の誘導に従った相加相乗平均の証明を紹介します.

 

まず (1) の,  x > 0 のとき  f(x)\geqq 0 を示します.

 

 f(x) x微分すると,

\begin{align*}
f^\prime(x) &= (n+1)\left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}-\left(\dfrac{A}{n}\right)^n\\
&= \left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^n - \left(\dfrac{A}{n}\right)^n
\end{align*}

 f^\prime(x)=0 となるとき,  \dfrac{A+x}{n+1}=\dfrac{A}{n} より  x=\dfrac{A}{n} であり,  f(x) の増減表は下のようになる.

\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \cdots & A/n & \cdots \\ \hline
f^{\prime}(x) &  & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline
\end{array}

よって,  f(x) x=A/n で最小値 0 をとる, つまり  f(x) > 0.

ではここから, 数学的帰納法を用いて相加相乗平均の関係を示していきます.

\begin{align*}
\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\geqq a_1a_2\cdots a_n \tag{$\ast$}
\end{align*}

とおきます.

 

[1]  n=1 のとき

(左辺)=a_1, \quad (右辺)=a_1

なので,  (\ast) は成立する.

 

[2]  n=k のとき  (\ast) が成立すると仮定すると,

\begin{align}\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\right)^k\geqq a_1a_2\cdots a_k. \tag{I}\end{align}

ここで,  A=a_1+a_2+\cdots+a_k(>0) とおくと, (I)式は

\begin{align}\left(\frac{A}{k}\right)^k\geqq a_1a_2\cdots a_k \end{align}

と書け, 両辺に  a_{k+1} を掛けると

\begin{align}\left(\frac{A}{k}\right)^ka_{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1} \tag{II}\end{align}

一方, (1) で示した不等式において  x=a_{k+1}(>0) とすることで,

\begin{align}\left(\frac{A+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq \left(\frac{A}{k}\right)^ka_{k+1} \tag{III}\end{align}


(II), (III) から,

\begin{align*}\left(\frac{A+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1}\end{align*}

つまり,

\begin{align*}\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1}\end{align*}

よって,  n=k+1 のときも  (\ast) は成立する.

従って, [1], [2] よりすべての自然数  n について

\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{n}\right)^n\geqq a_1a_2\cdots a_n

が成立する.