相加相乗平均の別証明
今回は, 2005年度に徳島大学で出題された, 相加相乗平均の不等式の証明を紹介します.相加相乗平均の不等式については様々な証明方法があり, 下のリンク先で 2 通りの証明を紹介しています.
上の問題の解答例 (相加相乗平均の証明)
上の問題の誘導に従った相加相乗平均の証明を紹介します.
まず (1) の, のとき を示します.
を で微分すると,
\begin{align*}
f^\prime(x) &= (n+1)\left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^n\cdot\frac{1}{n+1}-\left(\dfrac{A}{n}\right)^n\\
&= \left(\dfrac{A+x}{n+1}\right)^n - \left(\dfrac{A}{n}\right)^n
\end{align*}
となるとき, より であり, の増減表は下のようになる.
\begin{array}{|c||c|c|c|c|}\hline
x & 0 & \cdots & A/n & \cdots \\ \hline
f^{\prime}(x) & & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & & \searrow & 0 & \nearrow \\ \hline
\end{array}
よって, は で最小値 0 をとる, つまり .
ではここから, 数学的帰納法を用いて相加相乗平均の関係を示していきます.
とおきます.
[1] のとき
なので, は成立する.
[2] のとき が成立すると仮定すると,
\begin{align}\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_k}{k}\right)^k\geqq a_1a_2\cdots a_k. \tag{I}\end{align}
ここで, とおくと, (I)式は
\begin{align}\left(\frac{A}{k}\right)^k\geqq a_1a_2\cdots a_k \end{align}
と書け, 両辺に を掛けると
\begin{align}\left(\frac{A}{k}\right)^ka_{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1} \tag{II}\end{align}
一方, (1) で示した不等式において とすることで,
\begin{align}\left(\frac{A+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq \left(\frac{A}{k}\right)^ka_{k+1} \tag{III}\end{align}
(II), (III) から,
\begin{align*}\left(\frac{A+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1}\end{align*}
つまり,
\begin{align*}\left(\frac{a_1+a_2+\cdots+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1}\geqq a_1a_2\cdots a_{k+1}\end{align*}
よって, のときも は成立する.
従って, [1], [2] よりすべての自然数 について
が成立する.