問題.
今回は自作問題の3, 区分求積法を利用する問題です.
問題.
を自然数とする. 以下の問いに答えよ.
(1) を計算せよ.
(2) 自然数に対して, とおくとき, 全てのに対してが成り立つような実数が存在することが分かっている. このときを区分求積法を用いて示せ.
(1) は一応(2)への誘導となっています.
(2) は分かりにくいかもしれませんが, Faulhaberの公式(べき乗和の公式)のことを言っています.
\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k &= \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\\
\sum_{k=1}^n k^3 &= \frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2
\end{align*}
の和の公式の右辺のの係数がなので, 例えば上に挙げた例では
となります. このときに, は確かに成り立っています.
また, 区分求積法は, 次の公式です.
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx
\end{align*}
解答例.
(1) 普通に定積分を計算します.\begin{align*}
\int_0^1 x^m dx &= \Big[\frac{1}{m+1}x^{m+1}\Big]_0^1\\
&= \frac{1}{m+1}
\end{align*}
(2)
\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^{n} k^m = \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^i
\end{align*}
なので, 区分求積法を考えて,
ここで,
のときより,
のときより, .
なので,
故に,
\begin{align*}
\int_{0}^{1} x^m dx = a_{(m, m+1)}
\end{align*}
従って, .