数学の力

京大生が数学の定理・公式の証明や入試問題の解説をするブログ.

区分求積法を利用する問題(自作問題3)


スポンサードリンク

問題.

今回は自作問題の3, 区分求積法を利用する問題です.

 

問題. 

 m自然数とする. 以下の問いに答えよ.

(1)  \displaystyle \int_{0}^{1} x^mdxを計算せよ.

(2) 自然数 nに対して,  \displaystyle Sn=\sum^n_{k=1} k^mとおくとき, 全ての nに対して \displaystyle S_n=\sum^{m+1}_{i=1} a_{(m,i)}\cdot n^iが成り立つような実数 a_{(m,i)}\ (i=1,2,\ldots,m+1)が存在することが分かっている. このとき \displaystyle a_{(m,m+1)}=\frac{1}{m+1}を区分求積法を用いて示せ.

 

(1) は一応(2)への誘導となっています.

(2) は分かりにくいかもしれませんが, Faulhaberの公式(べき乗和の公式)のことを言っています.

\begin{align*}
\sum_{k=1}^n k &= \frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\\
\sum_{k=1}^n k^2 &= \frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n\\
\sum_{k=1}^n k^3 &= \frac{1}{4}n^4+\frac{1}{2}n^3+\frac{1}{4}n^2
\end{align*}

 

 k^mの和の公式の右辺の n^iの係数が a_{(m, i)}なので, 例えば上に挙げた例では

 a_{(1, 1)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(1, 2)}=\dfrac{1}{2}

 a_{(2, 1)}=\dfrac{1}{6}\quad a_{(2, 2)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(2, 3)}=\dfrac{1}{3}

 a_{(3, 1)}=0\quad a_{(3, 2)}=\dfrac{1}{4}\quad a_{(3, 3)}=\dfrac{1}{2}\quad a_{(3, 4)}=\dfrac{1}{4}

 

となります. このときに,  a_{(m, m+1)}=\dfrac{1}{m+1}は確かに成り立っています.

 

また, 区分求積法は, 次の公式です.

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx
\end{align*}

 

 

 

 

 

解答例.

(1) 普通に定積分を計算します.

\begin{align*}
\int_0^1 x^m dx &= \Big[\frac{1}{m+1}x^{m+1}\Big]_0^1\\
&= \frac{1}{m+1}
\end{align*}

 

(2)

\begin{align*}
S_n = \sum_{k=1}^{n} k^m = \sum_{i=1}^{m+1} a_{(m, i)}\cdot n^i
\end{align*}

なので, 区分求積法を考えて,

\begin{align*}
\int_{0} ^ {1} x ^ m dx &=   \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{k}{n}\right)^m\\
&=   \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right) ^ {m+1}\sum_{k=1} ^ {n} k ^ m\\
&=   \lim_{n\to\infty} \left(\frac{1}{n}\right) ^ {m+1}\sum_{i=1} ^ {m+1}a_{(m, i)}\cdot n ^ i\\
&=   \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1} ^ {m+1} a_{(m, i)}\cdot n ^ {i-m-1}
\end{align*}

ここで,

 1\leqq i\leqq mのとき i-m-1\leqq -1より,  \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{i-m-1}=0

 i=m+1のとき i-m-1=0より,  \displaystyle \lim_{n\to\infty}n^{i-m-1}=1.

なので,

\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1} ^ {m+1} a_{(m, i)}\cdot n ^ {i-m-1} = a_{(m, m+1)}
\end{align*}

故に,

\begin{align*}
\int_{0}^{1} x^m dx = a_{(m, m+1)}
\end{align*}

従って,  \displaystyle a_{(m, m+1)}=\frac{1}{m+1}.