数学の力

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方程式が整数解をもつ条件1(自作問題23)

自作問題

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問題.

問題.

$n$ を自然数とする. $x$ の方程式 $x^3+n-1=n\sqrt[3]{nx-n+1}$ が3つの異なる整数解を持つような $n$ の条件を求めよ.

自作問題の23番の問題と解説です.

左辺は3次式, 右辺は3乗根となっていて, もし両辺を3乗して整理すると,

\begin{align*}
(x^3+n-1)^3 = n^3(nx-n+1)
\end{align*}

9次の方程式となってしまい上手く解けません.

そこで, 問題の方程式の特徴を見つけて解きます.

答えはこのページの少し下にあります.

解答.

与えられた方程式は $x^3=n\sqrt[3]{nx-n+1}-n+1$ なので,

$y=\sqrt[3]{nx-n+1}$ とおくと

\begin{align}
y^3 &= nx-n+1 \tag{1}\\
x^3 &= ny-n+1 \tag{2}
\end{align}

となり, $x, y$ についての対称な関係式が現れます.

(1)から(2)を引いて

\begin{align}y^3-x^3=n(x-y)\end{align}

移項, 因数分解して

\begin{align}(y-x)(y^2+yx+x^2+n)=0\end{align}

$y^2+yx+x^2+n=\left(y+\frac{x}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x^2+n\neq 0$ なので $y=x$ .

(2)に $y=x$ を代入して $x$ について解きます.

\begin{align}x^3=nx-n+1\end{align}

\begin{align}x^3-nx+n-1=0\end{align}

\begin{align}(x-1)(x^2+x-n+1)=0\end{align}

\begin{align}\therefore x=1, \frac{1}{2}(-1\pm \sqrt{4n-3})\end{align}

$\frac{1}{2}(-1\pm\sqrt{4n-3})$ が整数となるとき, $\sqrt{4n-3}$ は奇数なので

$\sqrt{4n-3}=2m-1, m:$ 自然数とおくと

$n=m^2-m+1$

元の方程式の解は $x=1, m-1, -m$ となり, これらが異なる解になるには $m\neq2$ .

以上より, $n=m^2-m+1$ , $m$ は 2 でない自然数.

最後に

解答例の中の $y$ と $x$ の関係式(1)を

\begin{align*}
y=f(x)=\sqrt[3]{nx-n+1}
\end{align*}

とおくと, 式(2)は

\begin{align*}
x=f(y)
\end{align*}

つまり, 逆関数を用いれば,

\begin{align*}
y = f^{-1}(x)
\end{align*}

となります.

つまり, はじめの方程式の解 $x$ を求めることは, $y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ の交点を求めることだったわけです.

$y=f(x)$ と $y=f^{-1}(x)$ のグラフは直線 $y=x$ について対称なので, それらが $y=x$ 上で交わりそうだ, という発想から生まれた問題です.