問題.
今回は自作問題集の1-(5)の特殊な和の計算と区分求積法の問題の解答・解説です.2以上の自然数に対して,
とおくとき, を求めよ. 必要であればを用いてよい.
まず, 乗根の中の式を計算します. 詳しくは特殊な和の計算に書いてあります.
さらに, 与えられた式の形そのままでは計算ができないので, 両辺自然対数をとって, を計算していきます.
この部分の計算は多少煩雑になりますが, 区分求積法を使える形を意識して変形していきます. .
解答例.
まず乗根の中について計算します.よって,
\begin{align*}
a_n = \frac{1}{n}\sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n-2)(2n-1)}
\end{align*}
なので, 両辺自然対数をとって,
\begin{align*}
\log{a_n} &= \log\left\{\frac{1}{n} \sqrt[n]{(n+1)(n+2)\cdots(2n-2)(2n-1)}\right\}\\
&= \log{\frac{1}{n}} + \sum_{k=1}^{n-1}\log{(n+k)^{\frac{1}{n}}}\\
&= \log{\frac{1}{n}} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \log(n+k)\\
&= -\log{n} + \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \left\{\log{n}+\log\left(1+\frac{k}{n}\right)\right\}\\
&= -\log{n} + \frac{n-1}{n}\log{n} +\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right)\\
&= -\frac{1}{n}\log{n}+\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) \quad (\because k=0, \log\left(1+\frac{k}{n}\right)=0)\\
\end{align*}
よって,
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \log{a_n} = \lim_{n\to\infty} \left\{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{n}\log{n}\right\}
\end{align*}
ここで, において, とおくと, で, のときなので,
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{\log{n}}{n} = 0
\end{align*}
また,区分求積法により
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \log\left(1+\frac{k}{n}\right) &= \int_{0}^{1} \log(1+x) dx\\
&= \Big[(1+x)\log(1+x)-x\Big]_{0}^{1}\\
&= 2\log{2}-1\\
&= \log{\frac{4}{e}}
\end{align*}
以上より,
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} \log{a_n} = \log{\frac{4}{e}}
\end{align*}
となるから, 対数関数の連続性から
\begin{align*}
\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{4}{e}
\end{align*}