問題.
今回は自作問題集の1-(1)の定積分と極限の問題の解答・解説です.問題.
極限を計算せよ.
被積分関数は2乗の部分を展開して, 上手く部分積分を使って計算します.
部分積分 :
となることを上手く使えるかどうかがポイントです.
極限の計算の部分はの公式を使って計算します.
解答例.
ここで, の両辺をで割るとなので,
よって, 部分積分で
と考えると
で,
\begin{align}
\int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2x}{\tan{x}} dx &= \left[\frac{x^2}{\tan{x}}\right]_n^{\frac{\pi}{4}} + \int_{n}^{\frac{\pi}{4}} \left(1+\frac{1}{\tan^2{x}}\right)x^2 dx \\
&= \frac{\pi^2}{16}-\frac{n^2}{\tan{n}}+\int_{n}^{\frac{\pi}{4}} x^2 dx+\int_n^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2}{\tan^2{x}} dx\\
&= \frac{\pi^3}{192}+\frac{\pi^2}{16}-\frac{n^2}{\tan{n}}-\frac{1}{3}n^3+\int_n^{\frac{\pi}{4}} \frac{x^2}{\tan^2{x}} dx
\end{align}
また, なので,
ここで,
また,
なので,