不等式の証明(自作問題18)

問題.

自作問題集の18番, 不等式の証明の問題です.

問題.

関数 はすべての整数 に対し を満たし, すべての実数 に対して を満たす. 以下の問に答えよ.

(1) を示せ.

(2) を示せ. 但しはの逆関数である.

 

整数 に対して となることを利用して, の値の範囲を考えていきます.

(2) では, も単調増加となることを用いて(1)と同様の計算をします.

解答例.

(1)
実数 に対して を を超えない最大の整数を表すとすると, .

(ガウス記号です!!)

より は単調増加関数なので,

\begin{align*}
f([t])\leq f(t) < f([t]+1)
\end{align*}

は整数なので, であるから,

\begin{align*}
2[t]-5\leq f(t) < 2[t]-3
\end{align*}

\begin{align*}
\int_x^{x+2}\{2[t]-5\}\mathrm{d}t < \int_x^{x+2} f(t)\mathrm{d}t &< \int_x^{x+2} \{2[t]-3\}\,\mathrm{d}t\\
\therefore 2\int_x^{x+2}[t]\,\mathrm{d}t-10 < \int_x^{x+2} f(t)\,\mathrm{d}t&< 2\int_x^{x+2}[t]\,\mathrm{d}t-6
\end{align*}

ここで, の範囲で は常には成り立たないので, 等号は成り立たないことを用いています. さらに,

\begin{align*}
\int_x ^ {x+2}[t]\,\mathrm{d}t &= \int _ x ^ {[x]+1} [t]\,\mathrm{d}t + \int _ {[x]+1} ^ {[x]+2}[t]\,\mathrm{d}t + \int _ {[x]+2} ^ {x+2} [t]\,\mathrm{d}t\\
&= \int _ x ^ {[x]+1} [x]\,\mathrm{d}t + \int _ {[x]+1} ^ {[x]+2}([x]+1)\,\mathrm{d}t \\
&\quad+ \int _ {[x]+2} ^ {x+2} ([x]+2)\,\mathrm{d}t\\
&= ([x]+1-x)[x] + \{([x]+2)-([x]+1)\}([x]+1) \\
&\quad+ \{(x+2)-([x]+2)\}([x]+2)\\
&= 2x+1
\end{align*}

であるから, , となり,

\begin{align*}
4x-8 < \int _ x ^ {x+2}f(t)\,dt < 4x-4
\end{align*}

(2)

は を満たす整数を表すとします.

\begin{align*}
\{f ^ {-1}(x)\} ^ \prime=\dfrac{1}{f ^ \prime(x)}>0
\end{align*}

より, 逆関数 も単調増加関数なので,

\begin{align*}
f ^ {-1}(2p(t)-5)\leq f^{-1}(t) < f^{-1}(2p(t)-3)
\end{align*}

任意の整数に対して が成り立つので,

\begin{align*}
p(t)\leq f^{-1}(t) < p(t)+1
\end{align*}

\begin{align*}
\int_x^{x+2} p(t)\,\mathrm{d}t < \int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,\mathrm{d}t < \int_x^{x+2}\{p(t)+1\}\,dt\\
\therefore \int_x^{x+2}p(t)\,\mathrm{d}t < \int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,\mathrm{d}t < \int_x^{x+2}p(t)\,dt+2
\end{align*}

ここで,

\begin{align*}
\int_x^{x+2} p(t)\,\mathrm{d}t &= \int_x^{2p(x)-3}p(t)\,\mathrm{d}t + \int_{2p(x)-3}^{x+2}p(t)\,\mathrm{d}t\\
&= \int_x^{2p(x)-3}p(x)\,\mathrm{d}t + \int_{2p(x)-3}^{x+2} \{p(x)+1\}\,\mathrm{d}t\\
&= \{2p(x)-3-x\}p(x) \\
&\quad+ \{x+2-(2p(x)-3)\}\{p(x)+1\}\\
&= x+5
\end{align*}

であるから,

\begin{align*}
x+5 < \int_x^{x+2}f^{-1}(t)\,\mathrm{d}t < x+7
\end{align*}

(1)の結果と足し合わせて,

\begin{align*}
5x-3 < \int_x^{x+2}\{f(t)+f^{-1}(t)\}\,\mathrm{d}t < 5x+3
\end{align*}